Isomorphismus < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:09 Di 01.12.2009 | | Autor: | Wurzel2 |
| Aufgabe | | [mm]\IK[/mm]:= [mm]\IF_3[/mm] [mm] [x]/(x^2+1) [/mm] und [mm]\IL[/mm]:= [mm]\IF_3[/mm] [mm] [y]/(y^2+y-1) [/mm] sind beides Körper mit 9 Elementen. Wieviel Isomorphien gibt es zwischen [mm]\IK[/mm] und [mm]\IL[/mm]? |
Hallo!
Ich weiß leider gar nicht wie ich an diese Aufgabe rangehen soll. Kann mir jemand einen Tipp geben oder so?
Danke im Voraus.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:52 Mi 02.12.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> [mm]\IK[/mm]:= [mm]\IF_3[/mm] [mm][x]/(x^2+1)[/mm] und [mm]\IL[/mm]:= [mm]\IF_3[/mm] [mm][y]/(y^2+y-1)[/mm] sind
> beides Körper mit 9 Elementen. Wieviel Isomorphien gibt es
> zwischen [mm]\IK[/mm] und [mm]\IL[/mm]?
Ueberlege dir zuerst, dass jeder Isomorphismus [mm] $\IF_3$ [/mm] elementweise festhalten muss. Dann ueberlege dir, auf wieviele Elemente in [mm] $\IL$ [/mm] das Element $x + [mm] (x^2 [/mm] + 1) [mm] \in \IK$ [/mm] abgebildet werden kann.
(Tipp: wie faktorisiert das Polynom [mm] $T^2 [/mm] + 1$ ueber [mm] $\IL$?)
[/mm]
LG Felix
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