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| Aufgabe | | Sei f : V [mm] \to [/mm] W eine surjektive Abbildung des K - Vektrorraumes V auf den K - Vektorraum W. Sei U ein Komplement von ker(f) in V. Zeige, dass die Einschränkung von f auf U ein Isomorphismus von U auf W ist. |
Meine Überlegungen sind folgende:
Sei A = [mm] b_1, [/mm] ... [mm] ,b_r [/mm] Basis des Kerns
Sei ferner B = [mm] b_r_+_1,...,b_n [/mm] Basis des Komplements U.
Zusammen bilden diese Basisvektoren eine Basis von V. Dass die Abbildung f surjektiv ist, ist ja bereits gegeben, d.h. dass es zu jedem Element in W mindestens ein Urbild un V hat.
Es bleibt eigentlich nur noch zu zeigen, dass die Einschränkung auf f : U [mm] \to [/mm] W ein Isomorphismus ist, also insbesondere injektiv ist. Ich kann mir das eigentlich auch sehr schön bildlich vorstellen, aber das Problem bei mir ist, meine Gedanken mathematisch korrekt auf das Papier zu bringen.
Die Basis vom Kern wird ja auf Null abgebildet, und die Dimension der Abbildung des Kerns ist ja Null.
dim imf = dim U
Wie kann ich jetzt noch zeigen, dass es injektiv ist?
Danke für jede Antwort
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:35 Mi 10.12.2008 | | Autor: | djmatey |
Hallo,
ich würde sagen, das kann kein Isomorphismus sein.
Im Kern von f sind alle Elemente, die auf die 0 in W abgebildet werden.
Betrachtest du jetzt f auf U, also ohne die Kernelemente, gibt es doch kein Element in U, das auf die 0 in W abgebildet wird, d.h. f: U [mm] \to [/mm] W ist nicht surjektiv, höchstens f: U [mm] \to W\backslash\{0\}
[/mm]
LG djmatey
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> Hallo,
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> ich würde sagen, das kann kein Isomorphismus sein.
> Im Kern von f sind alle Elemente, die auf die 0 in W
> abgebildet werden.
> Betrachtest du jetzt f auf U, also ohne die Kernelemente,
> gibt es doch kein Element in U, das auf die 0 in W
> abgebildet wird, d.h. f: U [mm]\to[/mm] W ist nicht surjektiv,
> höchstens f: U [mm]\to W\backslash\{0\}[/mm]
Hmm..., es ist ja nur gesagt, dass U und sein Bild in W bijektiv sein sollen. In U sind ja keine Vektoren, die auf Null abbgebildet werden. Solche sind ja im Kern. Also kann ich ja die Null in W automatisch ignorieren oder?
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> Hmm..., es ist ja nur gesagt, dass U und sein Bild in W
> bijektiv sein sollen. In U sind ja keine Vektoren, die auf
> Null abbgebildet werden.
Hallo,
doch, die Null.
beachte Freds Hinweis und Lösung.
ich will trotzdem kurz auf Deinen Lösungsversuch mit den endl. Dimensionen eingehen.
Das war ja nicht so übel.
Du hast gesgt, daß der Kern die Basis [mm] b_1, ...b_r [/mm] hat, diese hast Du ergänzt durch [mm] b_{r+1},...b_n [/mm] zu einer Basis von V.
dann hast Du U definiert als den von [mm] b_{r+1},...b_n [/mm] aufgespannten Raum, und damit hast Du V=kernf [mm] \oplus [/mm] U
Du hast begründet, warum [mm] F|_U [/mm] surjektiv ist,
Aufschreiben könnte man es vielleicht so: sei [mm] w\in [/mm] W.
weil f surjektiv ist, gibt es ein [mm] v\in [/mm] V mit w=f(v).
V ist die direkte Summe aus kernf und U, also kann man v schreiben als v=k+u mit [mm] k\in [/mm] Kernf und [mm] u\in [/mm] U.
es ist w=f(v)=f(k+u)=f(k)+f(u)=f(u), und somit ist [mm] W\subseteq [/mm] f(U).
Zur Injektivtät: beachte auch hier freds Hinweise. Es gibt nur ein Element, welches gleichzeitig in U und im Kern liegt.
Gruß v. Angela
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> ich würde sagen, das kann kein Isomorphismus sein.
> Im Kern von f sind alle Elemente, die auf die 0 in W
> abgebildet werden.
Hallo,
ja, das stimmt.
> Betrachtest du jetzt f auf U, also ohne die Kernelemente,
U ist ein Unterraum von V so, daß kern f [mm] \oplus [/mm] U=V ist, und nicht etwa die Menge V \ kern f , was ja gar kein VR wäre.
> gibt es doch kein Element in U, das auf die 0 in W
Doch. Die 0 ist selbstverständlich in U, und diese wird auf [mm] 0_W [/mm] abgebildet.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:40 Mi 10.12.2008 | | Autor: | djmatey |
Ohja stimmt, sorry!
Da hab' ich falsch gedacht...
Grüße!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:12 Mi 10.12.2008 | | Autor: | fred97 |
1. Ich nehme an, dass f linear sein soll.
2. Nirgendwo steht, dass die beteiligten Vektorräume endlich dimensinal sind.
Daher kann man nicht mit endlichen Basen argumentieren.
3. Es ist einfacher als man denkt:
Nennen wir g die Einschränkung von f auf U. Also : g:U --> W
Wir haben V = U [mm] \oplus [/mm] Kern(f)
Dann : W = f(V) = f(U [mm] \oplus [/mm] Kern(f)) = f(U) = g(U).
Damit ist g surjektiv.
Sei x [mm] \in [/mm] Kern(g). Dann ist x [mm] \in [/mm] U [mm] \cap [/mm] Kern(f) = {0}, also x = 0. Damit ist g injektiv.
FRED
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Super vielen Dank. Aber was ich noch nicht so ganz verstanden habe ist das.
> Sei x [mm]\in[/mm] Kern(g). Dann ist x [mm]\in[/mm] U [mm]\cap[/mm] Kern(f) = {0},
> also x = 0. Damit ist g injektiv.
>
Ich kann mir das irgendwie schlecht vorstellen.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:34 Mi 10.12.2008 | | Autor: | fred97 |
Eine lineare Abbildung ist doch genau dann injektiv, wenn ihr kern = {0} ist
FRED
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