Isomorphismus < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:32 So 04.06.2006 | | Autor: | melek |
| Aufgabe | | Seien [mm] X_{1}, X_{2}, X_{3} \subset [/mm] V Unterräume. Zeigen Sie, dass die kanonische Abbildung [mm] X_{1} \times X_{2} \times X_{3} \to X_{1}+X_{2}+X_{3} [/mm] ein Isomorphismus ist genau dann, wenn für alle Möglichkeiten {i,j,k} = {1,2,3} gilt: [mm] X_{i} \cap (X_{j}+X_{k} [/mm] ) = 0 |
Hallöchen,
Kann mir hiermit jemand weiterhelfen?
Ein Isomorphismus nachzuweisen, hab ich mittlerweile verstanden, muss die surjektivität und injektivität zeigen.
Aber mit diesen Bedingungen, wie soll ich es dann machen?
hmmm, wäre euch dankbar, wenn ihr mir zeigt, wie es nachweisen kann!!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:35 So 04.06.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo melek!
> Seien [mm]X_{1}, X_{2}, X_{3} \subset[/mm] V Unterräume. Zeigen
> Sie, dass die kanonische Abbildung [mm]X_{1} \times X_{2} \times X_{3} \to X_{1}+X_{2}+X_{3}[/mm]
> ein Isomorphismus ist genau dann, wenn für alle
> Möglichkeiten {i,j,k} = {1,2,3} gilt: [mm]X_{i} \cap (X_{j}+X_{k}[/mm]
> ) = 0
Die Abbildung ist immer surjektiv, weisst du warum?
> Hallöchen,
> Kann mir hiermit jemand weiterhelfen?
> Ein Isomorphismus nachzuweisen, hab ich mittlerweile
> verstanden, muss die surjektivität und injektivität
> zeigen.
> Aber mit diesen Bedingungen, wie soll ich es dann machen?
> hmmm, wäre euch dankbar, wenn ihr mir zeigt, wie es
> nachweisen kann!!
Schreib doch mal den Kern der Abbildung hin. Und dann versuch mal auszudruecken, wann er leer ist, durch die Bedingungen!
Angenommen, du hast [mm] $x_i \in X_i$ [/mm] mit [mm] $x_1 [/mm] + [mm] x_2 [/mm] + [mm] x_3 [/mm] = 0$ und [mm] $x_1 \neq [/mm] 0$. Dann ist [mm] $X_1 \ni x_1 [/mm] = [mm] -x_2 [/mm] - [mm] x_3 \in X_2 [/mm] + [mm] X_3$. [/mm] Was sagt dir das?
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:58 So 04.06.2006 | | Autor: | melek |
wieso ist die abbildung denn surjektiv?
zu deinem anderen Tipp: ja, wenn man es so hinschreibt, wie du es gerade angenommen hast, dass [mm] x_{1}= -x_{2}- x_{3} \in X_{2}+X_{3}, [/mm] versteh ich das ja, aber das ist doch nur ne Erläuterung, halt ein bisschen veranschaulicht. Mein Problem ist, wie soll ich fortfahren?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:27 So 04.06.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> wieso ist die abbildung denn surjektiv?
Schreib doch mal die Definition von [mm] $X_1 [/mm] + [mm] X_2 [/mm] + [mm] X_3$ [/mm] hin. Und dann ueberleg dir, was fuer ein Urbild du fuer ein Element nehmen kannst.
> zu deinem anderen Tipp: ja, wenn man es so hinschreibt, wie
> du es gerade angenommen hast, dass [mm]x_{1}= -x_{2}- x_{3} \in X_{2}+X_{3},[/mm]
> versteh ich das ja, aber das ist doch nur ne Erläuterung,
> halt ein bisschen veranschaulicht. Mein Problem ist, wie
> soll ich fortfahren?
Verallgemeinern. Das ist wirklich nicht schwer. Der allgemeine Fall geht doch genauso, eins der [mm] $x_i$ [/mm] ist mindestens [mm] $\neq [/mm] 0$ wenn [mm] $(x_1, x_2, x_3)$ [/mm] im Kern ist und nicht 0 ist.
LG Felix
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