Isomorphieklassen abelscher Gr < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:34 Do 16.11.2006 | | Autor: | gh23 |
Hallo
Ich würde gerne wiessen wie man mittels Sylow-Sätze die Isomorphieklassen abelscher Gruppen mit endl. Ordnung bestimmt.
Ich weiß, dass man die Gruppenordnung in ihre Primzahlfaktoren zerlegt und dann mittels der Sylow-Sätze sagen kann, dass die p-Untergruppen existieren. Nun weiß ich jedoch nicht wie es weitergeht. :(
Ich hoffe das kann/will mir jmd erklären. :)
Danke schon mal im Voraus!
Grüße Flo !
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:13 Do 16.11.2006 | | Autor: | moudi |
Hallo Flo
Weil in einer abelschen Gruppe jede Untergruppe ein Normalteiler ist, die Konjugation trivial und der Durchschnitt einer p-Sylowuntergruppe mit einer Untergruppe einer Ordnung, die von p nicht geteilt wird nur das Neutralelement ist,
ist jede endliche abelsche Gruppe das direkte Produkt aller seiner p-Sylowuntergruppen.
Sind [mm] $p_1,\dots,p_n$ [/mm] die Primzahlen, die die Gruppenordnung teilen und sind [mm] $U_1,\dots,U_n$ [/mm] die entsprechenden p-Sylowuntergruppen, so gilt
[mm] $G=U_1\times\dots\times U_n$.
[/mm]
Weiter kann man sich überlegen, dass die einzige(!) p-Sylowuntegruppe gerade aus denjenigen Elementen von G besteht, deren Ordnung eine p-Potenz ist.
Es ist daher klar dass ein Isomorphismus von endlichen abelschen Gruppen die p-Sylowuntergruppen aufeinander abbildet und auf diesen ebenfalls Isomorphismen erzeugt.
Daher reduziert sich die Klassifikation abelscher Gruppen auf die Klassifikation abelscher p-Gruppen.
z.B. Zu einer abelschen Gruppe der Ordnung [mm] p^2 [/mm] gibt es 2 Isomorphietypen:
[mm] $\IZ/p\IZ\times\IZ/p\IZ$ [/mm] und [mm] $\IZ/p^2\IZ$ [/mm] etc.
Dass diese Gruppen nicht isomorph sind, sieht man daran, dass die rechte Gruppe ein Element der Ordnung [mm] $p^2$ [/mm] besitzt, die linke Gruppe aber nicht.
mfG Moudi
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