Isomorphieklasse < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:42 Fr 08.05.2009 | | Autor: | slash |
| Aufgabe | | Warum ist die Anzahl der Isomorphieklassen einer endlichen Gruppe der Ordnung 6 = 2? |
Isomorphieklasse 1: [mm] C_{6}
[/mm]
Isomorphieklasse 2: [mm] S_{3} \cong D_{3}
[/mm]
In der Vorlesung hatten wir den Satz:
"Die Anzahl der Isomorphieklassen aller endlichen Gruppen der Ordnung n = Produkt von Primzahlpotenzen ist gleich dem Produkt der Partitionen der Potenzen der paarweise verschiedenen Primzahlen."
Partition:
4 = 1 + 1 + 1 +1 = 2 + 2 = 3 + 1 = 4 = 1 + 1 + 2 --> P(4) = 5
==
Mache ich das bei n = 6 = 2*3 komme ich auf eine Isomorphieklasse.
Warum?
Danke, slash.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:06 Fr 08.05.2009 | | Autor: | statler |
Hallo!
> Warum ist die Anzahl der Isomorphieklassen einer endlichen
> Gruppe der Ordnung 6 = 2?
> Isomorphieklasse 1: [mm]C_{6}[/mm]
> Isomorphieklasse 2: [mm]S_{3} \cong D_{3}[/mm]
>
> In der Vorlesung hatten wir den Satz:
> "Die Anzahl der Isomorphieklassen aller endlichen Gruppen
> der Ordnung n = Produkt von Primzahlpotenzen ist gleich dem
> Produkt der Partitionen der Potenzen der paarweise
> verschiedenen Primzahlen."
>
> Partition:
> 4 = 1 + 1 + 1 +1 = 2 + 2 = 3 + 1 = 4 = 1 + 1 + 2 --> P(4)
> = 5
>
> ==
> Mache ich das bei n = 6 = 2*3 komme ich auf eine
> Isomorphieklasse.
> Warum?
Weil der Satz oben so nicht stimmt! Er gilt für abelsche Gruppen, und da gibt es ja auch nur eine der Ordnung 6, wie du ganz richtig festgestellt hast. Guck noch mal in dein Vorlesungsskript. Für nicht-abelsche Gruppen gibt es keinen entsprechenden Satz, deswegen die vielen dicken Bücher über Gruppentheorie.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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