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| Aufgabe | | Ist [mm] \IZ^{\*}_{7} [/mm] isomorph zu [mm] D_{3} [/mm] oder zu [mm] (\IZ_{6},+) [/mm] ? |
Hallo,
also ich hab mir schon meine Gedanken um diese Aufgabe gemacht und dachte ich hätte es verstanden. Doch heute krame ich die Aufgabe wieder raus und alles ist wieder unklar...
Also [mm] D_{3} [/mm] soll ja die Diedergruppe mit 6 Elementen sein. Wenn alle Elemente der Gruppe [mm] \IZ^{\*}_{7} [/mm] die ord=2 haben, ist die Gruppe [mm] \IZ^{\*}_{7} [/mm] nicht zyklisch und isomorph zu der Diedergruppe.
Die Elemente von [mm] \IZ^{\*}_{7} [/mm] sind: {[1],[2],[3],[4],[5],[6]}. Somit ist ja die ord [mm] \IZ^{\*}_{7} [/mm] = 6.
Und nun überprüfe ich mal, ob [mm] \IZ^{\*}_{7} [/mm] isomorph zu [mm] D_{3} [/mm] ist:
[mm] 2^2= [/mm] 4 [mm] \equiv [/mm] 4 mod 7
[mm] 3^2= [/mm] 9 [mm] \equiv [/mm] 2 mod 7
[mm] 4^2=16 \equiv [/mm] 2 mod 7
[mm] 5^2 [/mm] = 25 [mm] \equiv [/mm] 4 mod 7
[mm] 6^2 [/mm] = 36 [mm] \equiv [/mm] 1 mod 7
So, daran kann ich nun ablesen, dass lediglich das Element [6] die Ordnung = 2 hat. Aber sonst kein Element. Deswegen ist [mm] \IZ^{\*}_{7} [/mm] schon mal nicht isomorph zu [mm] D_{3}. [/mm]
Daraus könnte ich zwar jetzt einfach sagen das [mm] \IZ^{\*}_{7} [/mm] nur isomorph zu [mm] (\IZ_{6},+)...aber [/mm] ich möchte es noch mehr begründen könnnen. Und zwar indem ich am besten zeige, dass [mm] \IZ^{\*}_{7} [/mm] zyklisch ist. Und genau das ist momentan mein Problem....woran kann ich nun festmachen, dass [mm] \IZ^{\*}_{7} [/mm] zyklisch ist? Stehe aufm Schlauch....
Ich weiß zwar durch ausprobieren, dass durch [mm] 2^n [/mm] jedes Element dargestellt werden kann aus [mm] \IZ^{\*}_{7} [/mm] , aber das kann ja nicht gehen, dass mal alle Potenzen durch probiert.
Danke schon mal!
LG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:42 Mo 31.01.2011 | | Autor: | statler |
Mahlzeit!
> Ist [mm]\IZ^{\*}_{7}[/mm] isomorph zu [mm]D_{3}[/mm] oder zu [mm](\IZ_{6},+)[/mm] ?
> Hallo,
>
> also ich hab mir schon meine Gedanken um diese Aufgabe
> gemacht und dachte ich hätte es verstanden. Doch heute
> krame ich die Aufgabe wieder raus und alles ist wieder
> unklar...
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> Also [mm]D_{3}[/mm] soll ja die Diedergruppe mit 6 Elementen sein.
> Wenn alle Elemente der Gruppe [mm]\IZ^{\*}_{7}[/mm] die ord=2 haben,
> ist die Gruppe [mm]\IZ^{\*}_{7}[/mm] nicht zyklisch und isomorph zu
> der Diedergruppe.
Dann ist natürlich nicht zyklisch, aber auch nicht isomorph zur [mm] D_3. [/mm] Allerdings gibt es eine solche Gruppe der Ordnung 5 nicht.
> Die Elemente von [mm]\IZ^{\*}_{7}[/mm] sind:
> {[1],[2],[3],[4],[5],[6]}. Somit ist ja die ord
> [mm]\IZ^{\*}_{7}[/mm] = 6.
> Und nun überprüfe ich mal, ob [mm]\IZ^{\*}_{7}[/mm] isomorph zu
> [mm]D_{3}[/mm] ist:
> [mm]2^2=[/mm] 4 [mm]\equiv[/mm] 4 mod 7
> [mm]3^2=[/mm] 9 [mm]\equiv[/mm] 2 mod 7
> [mm]4^2=16 \equiv[/mm] 2 mod 7
> [mm]5^2[/mm] = 25 [mm]\equiv[/mm] 4 mod 7
> [mm]6^2[/mm] = 36 [mm]\equiv[/mm] 1 mod 7
>
> So, daran kann ich nun ablesen, dass lediglich das Element
> [6] die Ordnung = 2 hat. Aber sonst kein Element. Deswegen
> ist [mm]\IZ^{\*}_{7}[/mm] schon mal nicht isomorph zu [mm]D_{3}.[/mm]
Das folgt nicht aus dem, was du bisher gesagt hast, sondern daraus, daß die [mm] D_3 [/mm] 3 Elemente der Ordnung 2 enthält.
> Daraus könnte ich zwar jetzt einfach sagen das
> [mm]\IZ^{\*}_{7}[/mm] nur isomorph zu [mm](\IZ_{6},+)...aber[/mm] ich möchte
> es noch mehr begründen könnnen. Und zwar indem ich am
> besten zeige, dass [mm]\IZ^{\*}_{7}[/mm] zyklisch ist. Und genau
> das ist momentan mein Problem....woran kann ich nun
> festmachen, dass [mm]\IZ^{\*}_{7}[/mm] zyklisch ist? Stehe aufm
> Schlauch....
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> Ich weiß zwar durch ausprobieren, dass durch [mm]2^n[/mm] jedes
> Element dargestellt werden kann aus [mm]\IZ^{\*}_{7}[/mm] , aber
> das kann ja nicht gehen, dass mal alle Potenzen durch
> probiert.
Das stimmt nicht, 2 ist kein erzeugendes Element der [mm] \IZ^{\*}_{7}.
[/mm]
Damit ist 4 automatisch auch keins, bleiben also nur 3 und 5.
Wenn du weißt, daß es nur 2 Gruppen der Ordnung 6 gibt, kannst du die Aufgabe auch lösen, indem du auf die Kommutativität abhebst.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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> Mahlzeit!
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> > Ist [mm]\IZ^{\*}_{7}[/mm] isomorph zu [mm]D_{3}[/mm] oder zu [mm](\IZ_{6},+)[/mm] ?
> > Hallo,
> >
> > also ich hab mir schon meine Gedanken um diese Aufgabe
> > gemacht und dachte ich hätte es verstanden. Doch heute
> > krame ich die Aufgabe wieder raus und alles ist wieder
> > unklar...
> >
> > Also [mm]D_{3}[/mm] soll ja die Diedergruppe mit 6 Elementen sein.
> > Wenn alle Elemente der Gruppe [mm]\IZ^{\*}_{7}[/mm] die ord=2 haben,
> > ist die Gruppe [mm]\IZ^{\*}_{7}[/mm] nicht zyklisch und isomorph zu
> > der Diedergruppe.
>
> Dann ist natürlich nicht zyklisch, aber auch nicht
> isomorph zur [mm]D_3.[/mm] Allerdings gibt es eine solche Gruppe der
> Ordnung 5 nicht.
>
> > Die Elemente von [mm]\IZ^{\*}_{7}[/mm] sind:
> > {[1],[2],[3],[4],[5],[6]}. Somit ist ja die ord
> > [mm]\IZ^{\*}_{7}[/mm] = 6.
> > Und nun überprüfe ich mal, ob [mm]\IZ^{\*}_{7}[/mm] isomorph zu
> > [mm]D_{3}[/mm] ist:
> > [mm]2^2=[/mm] 4 [mm]\equiv[/mm] 4 mod 7
> > [mm]3^2=[/mm] 9 [mm]\equiv[/mm] 2 mod 7
> > [mm]4^2=16 \equiv[/mm] 2 mod 7
> > [mm]5^2[/mm] = 25 [mm]\equiv[/mm] 4 mod 7
> > [mm]6^2[/mm] = 36 [mm]\equiv[/mm] 1 mod 7
> >
> > So, daran kann ich nun ablesen, dass lediglich das Element
> > [6] die Ordnung = 2 hat. Aber sonst kein Element. Deswegen
> > ist [mm]\IZ^{\*}_{7}[/mm] schon mal nicht isomorph zu [mm]D_{3}.[/mm]
>
> Das folgt nicht aus dem, was du bisher gesagt hast, sondern
> daraus, daß die [mm]D_3[/mm] 3 Elemente der Ordnung 2 enthält.
>
> > Daraus könnte ich zwar jetzt einfach sagen das
> > [mm]\IZ^{\*}_{7}[/mm] nur isomorph zu [mm](\IZ_{6},+)...aber[/mm] ich möchte
> > es noch mehr begründen könnnen. Und zwar indem ich am
> > besten zeige, dass [mm]\IZ^{\*}_{7}[/mm] zyklisch ist. Und genau
> > das ist momentan mein Problem....woran kann ich nun
> > festmachen, dass [mm]\IZ^{\*}_{7}[/mm] zyklisch ist? Stehe aufm
> > Schlauch....
> >
> > Ich weiß zwar durch ausprobieren, dass durch [mm]2^n[/mm] jedes
> > Element dargestellt werden kann aus [mm]\IZ^{\*}_{7}[/mm] , aber
> > das kann ja nicht gehen, dass mal alle Potenzen durch
> > probiert.
>
> Das stimmt nicht, 2 ist kein erzeugendes Element der
> [mm]\IZ^{\*}_{7}.[/mm]
Welches ist denn dann das erzeugende Element?
> Damit ist 4 automatisch auch keins, bleiben also nur 3 und
> 5.
>
> Wenn du weißt, daß es nur 2 Gruppen der Ordnung 6 gibt,
> kannst du die Aufgabe auch lösen, indem du auf die
> Kommutativität abhebst.
Verstehe ich nicht recht...Sorry.
Hab ich das alles falsch gemacht? In der Vorlesung haben wir in einem Beispiel auch so etwas gezeigt. Nach dem Schema. Nur da waren es andere Gruppen. Nämlich da war die Frage, ob [mm] \IZ^{\*}_{8} [/mm] isomorph ist zu [mm] D_{2} [/mm] oder zu [mm] (\IZ_{4},+).
[/mm]
>
> Gruß aus HH-Harburg
> Dieter
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:12 Mo 31.01.2011 | | Autor: | statler |
Hi!
> > > Ist [mm]\IZ^{\*}_{7}[/mm] isomorph zu [mm]D_{3}[/mm] oder zu [mm](\IZ_{6},+)[/mm] ?
> > Das stimmt nicht, 2 ist kein erzeugendes Element der
> > [mm]\IZ^{\*}_{7}.[/mm]
>
> Welches ist denn dann das erzeugende Element?
Es gibt nicht das erzeugende Element, weil es mehrere sein können.
> > Damit ist 4 automatisch auch keins, bleiben also nur 3 und
> > 5.
Das sind jetzt mal 2 Vorschläge von mir. Du wirst in der Lage sein, die beiden durchzuprobieren.
> > Wenn du weißt, daß es nur 2 Gruppen der Ordnung 6 gibt,
> > kannst du die Aufgabe auch lösen, indem du auf die
> > Kommutativität abhebst.
>
> Verstehe ich nicht recht...Sorry.
> Hab ich das alles falsch gemacht? In der Vorlesung haben
> wir in einem Beispiel auch so etwas gezeigt. Nach dem
> Schema. Nur da waren es andere Gruppen. Nämlich da war die
> Frage, ob [mm]\IZ^{\*}_{8}[/mm] isomorph ist zu [mm]D_{2}[/mm] oder zu
> [mm](\IZ_{4},+).[/mm]
Jetzt verschtehe ich, woher deine schräge Argumentation kommt. In [mm] \IZ^{\*}_{8} [/mm] haben alle Elemente die Ordnung 2, aber das ist auch eine Gruppe der Ordnung 4. Und bei Ordnung 4 sind alle Gruppen kommutativ, da funktioniert mein Vorschlag nicht.
Am besten zeigst du die Isomorphie, indem du explizit einen Isomorphismus angibst. Wenn beide Gruppen zyklisch sind, ist das nicht allzu schwer.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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Ok. Noch mal von vorne 
Also kann man pauschal sagen, wenn man eine Gruppe mit ord= 4 hat, sind die immer isomorph zu der Diedergruppe [mm] D_{2} [/mm] ?
Wenn dies nicht der Fall ist, muss ich ein Element aus der Gruppe finden, in unserem Fall gerade aus der Gruppe [mm] \IZ^{\*}_{7}, [/mm] das die Gruppe erzeugt. Also ein Element mit der Eigenschaft ord x = 6. So könnte man doch alle Elemente mit 6 potenzieren und bei denen das neutrale Element heraus kommt, dies sind erzeugende Elemente und somit ist meine Guppe zyklisch und aufjedenfall schon mal nicht zu [mm] D_{3} [/mm] isomorph.
Wie ich das jetzt mit dem was du meinst zeigen kann weiß ich leider immer noch nicht wirklich...
Danke!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:10 Mo 31.01.2011 | | Autor: | statler |
Hi!
> Ok. Noch mal von vorne
Genau! Ich würde vorschlagen, daß du noch mal ganz intensiv mit den Anfängen der Gruppentheorie auseinandersetzt.
> Also kann man pauschal sagen, wenn man eine Gruppe mit ord=
> 4 hat, sind die immer isomorph zu der Diedergruppe [mm]D_{2}[/mm] ?
Nein, das kann man nicht sagen, ds habe ich auch nicht behauptet, und das ist auch ganz falsch. Es gibt bis auf Isomorphie 2 (in Worten: zwei) Gruppen der Ordnung 4. Sonst hätte dein oben angesprochesnes Beispiel doch auch überhaupt keinen Sinn.
> Wenn dies nicht der Fall ist, muss ich ein Element aus der
> Gruppe finden, in unserem Fall gerade aus der Gruppe
> [mm]\IZ^{\*}_{7},[/mm] das die Gruppe erzeugt. Also ein Element mit
> der Eigenschaft ord x = 6. So könnte man doch alle
> Elemente mit 6 potenzieren und bei denen das neutrale
> Element heraus kommt, dies sind erzeugende Elemente
Neinneinnein! In einer Gruppe der Ordnung 6 ist die 6. Potenz jedes Elementes das neutrale Element.
> und
> somit ist meine Guppe zyklisch und aufjedenfall schon mal
> nicht zu [mm]D_{3}[/mm] isomorph.
> Wie ich das jetzt mit dem was du meinst zeigen kann weiß
> ich leider immer noch nicht wirklich...
Isomorphie ist eine Äquivalenzrelation auf der Menge der Gruppen der Ordnung 6. Es gibt 2 Isomorphieklassen. Die Elemente der einen Klasse sind alle kommutativ, sogar zyklisch, und die Elemente der anderen sind es ganz und gar nicht. In welche Klasse gehört jetzt wohl [mm] D_3? [/mm] Was ist denn überhaupt [mm] D_{3}?
[/mm]
Gruß
Dieter
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[mm] D_{3} [/mm] ist aufjedenfall nicht zyklisch. Das steht auch in unserem Skript.
Im Prinzip ist ja auch klar, dass [mm] \IZ^{\*}_{7} [/mm] isomorph zu [mm] \IZ_{6} [/mm] ist. Wen man sich nämlich die Elemente jeweils anschaut, sind es ja genau die gleichen. Und wenn man in beiden Gruppen beispielsweise [2]*[4] "rechnet" , dann kommt bei beiden das neutrale Element raus. Meintest du das mit Isomorphie zeigen?
Sorry für mein Unverständnis...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:33 Do 03.02.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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