Isomorphie < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:33 Mo 30.04.2007 | | Autor: | Moe007 |
| Aufgabe | Sei G eine endliche Gruppe mit |G| = 12, die genau 2 Elemente der Ordnung 4 hat.
Zeige: G [mm] \cong \IZ [/mm] / 3 [mm] \times \IZ [/mm] / 4 |
Hallo,
ich hab eine Frage zur Aufgabe. Ich versteh nicht, was mir die Information "G hat 2 Elemente der Ordnung 4" bringen soll. Vielleicht kann es mir ja jemand erklären.
Ich hab so angefangen:
G hat 12 Elemente und [mm] \IZ [/mm] / 3 [mm] \times \IZ [/mm] / 4 hat auch 12 Elemente, da [mm] \IZ [/mm] / 3 [mm] \times \IZ [/mm] / 4 [mm] \cong \IZ [/mm] / (12) nach dem chin. Restsatz.
Dann kann man eine Abb. [mm] \phi: \IZ [/mm] / 3 [mm] \times \IZ [/mm] / 4 [mm] \to [/mm] G definieren, die ein injektiver Gruppenhomomorphismus ist.
Da die Mengen endlich und gleichmächtig sind, folgt auch die Surjektivität.
Daraus folgt doch die Isomorphie oder nicht?
Ich hoffe, es kann mir jemand erklären, was ich falsch gemacht habe.
Viele Grüße,
Moe
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:07 Di 01.05.2007 | | Autor: | komduck |
Die Idee zu zeigen , dass G $ [mm] \cong \IZ_{12} [/mm] $ ist schon mal gut.
"Dann kann man eine Abb. $ [mm] \phi: \IZ [/mm] $ / 3 $ [mm] \times \IZ [/mm] $ / 4 $ [mm] \to [/mm] $ G definieren" das ist mir nicht klar.
Ich würde so vorgehen: Wir zeigen das G abelsch ist. Da es nur 2
abelsche Gruppen mit 12 Element gibt (wenn das nicht klar ist, dann muß
man das noch extra beweisen) $ [mm] \IZ_{2} \times \IZ_{6} [/mm] $ und
$ [mm] \IZ_{12} [/mm] $ in $ [mm] \IZ_{2} \times \IZ_{6} [/mm] $ gibt es keine Elemente mit
Ordnung 4.
Dann bleibt zu zeigen G ist abelsch.
Sei a ein Element mit Ordnug 4 das inverse zu a muß auch die Ordnung 4
haben. Es kann nicht selbstinvers sein, weil es dann die Ordnung 2
hätte. Von a wird die Untergruppe U erzeugt, sie ist isomorph zu [mm] \IZ_{4}.
[/mm]
A = [mm] \{ e , a , a² , a³ \} [/mm] da in unserer Gruppe nur 2 Elemente der Ordnung
4 sind müssen a und a³ diese Elemente sein.
Da es keine weiteren Elemente mit Ordung 4 gibt kann es keine
konjugierten Gruppen von A geben. Also ist A Normalteiler.
Weil 3 ein Teiler von 12 gibt es ein Element mit Ordnung 3 dies sei b.
Von ihm wird B = { e , b , b² } erzeugt.
Man müsste nun zeigen B ist Normalteiler.
komduck
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:58 Di 01.05.2007 | | Autor: | statler |
> Von ihm wird B = { e , b , b² } erzeugt.
> Man müsste nun zeigen B ist Normalteiler.
Oder man zeigt, daß die Konjugation mit b auf A die Identität ergibt. Sei das [mm] \phi. [/mm] Wäre [mm] \phi(a) [/mm] = [mm] a^{3}, [/mm] dann [mm] \phi^{2}(a) [/mm] = [mm] a^{9} [/mm] = a und [mm] \phi [/mm] = [mm] \phi^{4} [/mm] doch die Identität. Widerspruch.
Gruß
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:27 Di 01.05.2007 | | Autor: | Moe007 |
Hallo komduck, hallo statler,
danke erstmal für eure Hilfe. Ich hab mir die Antworten durchgelesen und versucht, nachzuvollziehen, was man zeigen muss.
Aber leider habe ich das gar nicht verstanden.
Ich muss doch zeigen, dass G [mm] \cong \IZ [/mm] / 3 [mm] \times \IZ [/mm] / 4 ist.
Wieso muss ich da zeigen, dass G abelsch ist? Ich versteh da den Zusammenhang nicht.
> Die Idee zu zeigen , dass G [mm]\cong \IZ_{12}[/mm] ist schon mal
> gut.
> Ich würde so vorgehen: Wir zeigen das G abelsch ist. Da es
> nur 2
> abelsche Gruppen mit 12 Element gibt (wenn das nicht klar
> ist, dann muß
> man das noch extra beweisen)
Wie kann man das zeigen?
[mm]\IZ_{2} \times \IZ_{6}[/mm] und
> [mm]\IZ_{12}[/mm] in [mm]\IZ_{2} \times \IZ_{6}[/mm] gibt es keine Elemente
> mit Ordnung 4.
Wie sieht man das? Die Ordnung eines Elementes x ist doch die kleinste natürliche Zahl n, mit [mm] x^{n} [/mm] = e.
> Dann bleibt zu zeigen G ist abelsch.
> Sei a ein Element mit Ordnug 4 das inverse zu a muß auch
> die Ordnung 4
> haben. Es kann nicht selbstinvers sein, weil es dann die
> Ordnung 2
> hätte. Von a wird die Untergruppe U erzeugt, sie ist
> isomorph zu [mm]\IZ_{4}.[/mm]
> A = [mm]\{ e , a , a² , a³ \}[/mm] da in unserer Gruppe nur 2
> Elemente der Ordnung
> 4 sind müssen a und a³ diese Elemente sein.
Wie kommt man da drauf?
> Da es keine weiteren Elemente mit Ordung 4 gibt kann es
> keine
> konjugierten Gruppen von A geben. Also ist A
> Normalteiler.
> Weil 3 ein Teiler von 12 gibt es ein Element mit Ordnung 3
> dies sei b.
> Von ihm wird B = { e , b , b² } erzeugt.
> Man müsste nun zeigen B ist Normalteiler.
Ich versteh nicht, warum man zeigen muss, dass A und B Normalteiler sind. Ich will doch zeigen, dass G [mm] \cong \IZ [/mm] / 3 [mm] \times \IZ [/mm] / 4 ist. Wie folgt da die Isomorphie?
Ich hoffe, ihr könnt mir das näher erläutern.
Danke vielmals.
Viele Grüße,
Moe
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:21 Di 01.05.2007 | | Autor: | komduck |
Man kann diesen Satz beweisen:
Sei G endliche Gruppe und A und B Normeiler und |A|*|B|=|G|
und A [mm] \cap [/mm] B = {e} dann ist G [mm] \cong [/mm] A [mm] \times [/mm] B
Endliche abelsche Gruppen lassen sich einfach klasifizieren.
Endliche abelsche Gruppen sind das produkt von abelschen p-Gruppen.
Endliche abelschen p-Gruppen sind das Produkt von Zyklischen p-Gruppen.
Nun ist das Produkt zweier p-Gruppen nie zyklisch.
Also zur Ordnung 4 gibt es [mm] \IZ_{2} \times \IZ_{2} [/mm] und [mm] \IZ_{4}
[/mm]
zur Ordnung 8 gibt es [mm] \IZ_{2} \times \IZ_{2} \times \IZ_{2}, \IZ_{4} \times \IZ_{2} [/mm] und [mm] \IZ_{8}
[/mm]
Wenn p und q teilerfremd dann git [mm] \IZ_{p} \times \IZ_{q} \cong \IZ_{p*q}
[/mm]
Für 12 gibt es nur 2 ablesche Gruppe [mm] \IZ_{2} \times \IZ_{2} \times \IZ_{3} \cong \IZ_{2} \times \IZ_{6} [/mm] und
[mm] \IZ_{4} \times \IZ_{3} \cong \IZ_{12}
[/mm]
Im nicht abelschen Fall ist das komplizierter. Wenn ich zum Beispiel
einen Normalteiler A in G habe. Und die Faktorgruppe ist B [mm] \cong [/mm] G/A
Dann kann es viele Möglichkeiten für G geben. Die hängen mit
den möglichen Homomorphimen von B->Aut(A) zusammen.
Die Diedergruppen [mm] D_{n} [/mm] sind zum Beispiel Gruppen mit Normalteiler [mm] Z_{n}
[/mm]
und Fakorgruppe [mm] Z_{2} [/mm] nur die [mm] D_{2} [/mm] ist abelsch.
Hilfreich sind häufig die Sylowsätze die machen Ausagen über die
Anzahl der p-Sylowgruppen.
komduck
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:44 Mi 02.05.2007 | | Autor: | Moe007 |
Hallo komduck,
danke für deine Antwort. Mir ist beim Beweis von dieser Aufgabe noch einiges unklar.
Zu zeigen ist doch G [mm] \cong \IZ_{3} \times \IZ_{4}, [/mm] oder G [mm] \cong \IZ_{12}
[/mm]
Laut Angabe ist G nicht abelsch. Wieso muss man dann zeigen, dass G abelsch ist? Oder muss ich den Fall abelsch und nicht-abelsch betrachten?
Dann habe ich ein Element a genommen, wie du es gesagt hast, mit ord a = 4. D.h. doch, dass <a> [mm] \cong \IZ_{4} [/mm] oder? Und <a> = A = {e,a, [mm] a^{2}, a^{3}}.
[/mm]
In der Gruppe A soll es 2 Elemente geben, mit der Ordnung 4. Warum sind das genau a und [mm] a^{3}? [/mm] Wieso kann das nicht [mm] a^{2} [/mm] sein?
Dann soll ich zeigen, dass A Normalteiler ist. Aber wie kann ich denn zeigen, dass [mm] \forall [/mm] g [mm] \in [/mm] G gilt [mm] gAg^{-1} [/mm] = A bzw. dass B Normalteiler ist?
Für B gilt doch B = <b> = { [mm] e,b,b^{2} [/mm] } , mit ord b = 3.
Dann haben wir A [mm] \cap [/mm] B = {e}
Wenn man nun gezeigt hat, dass A und B Normalteiler sind, dann folgt G [mm] \cong [/mm] A [mm] \times [/mm] B.
Nun ist |A| = 4 und |B| = 3. Ich versteh nun nicht warum A [mm] \cong \IZ_{4} [/mm] ist, weil 4 nicht prim ist. Aber es gilt doch allgemein, dass für p prim ist jede Gruppe der Ordnung p isomorph zu [mm] \IZ_{p} [/mm] oder? Oder gilt das für alle p?
Wo geht im Beweis genau ein, dass G abelsch ist?
Ich hoffe, du erklärst es mir.
Viele Grüße und danke,
Moe
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:25 Mi 02.05.2007 | | Autor: | komduck |
Hallo,
> Zu zeigen ist doch G [mm]\cong \IZ_{3} \times \IZ_{4},[/mm] oder G
> [mm]\cong \IZ_{12}[/mm]
Ja zu zeigen ist G [mm] \cong \IZ_{3} \times \IZ_{4}. [/mm] Für mich ist
[mm] \IZ_{12} [/mm] nur ein anderer Name für [mm] \IZ_{3} \times \IZ_{4}.
[/mm]
Sorry wenn ich dich damit verwirrt habe.
> Laut Angabe ist G nicht abelsch. Wieso muss man dann
> zeigen, dass G abelsch ist? Oder muss ich den Fall abelsch
> und nicht-abelsch betrachten?
Ich bin davon ausgegangen, das klar ist das [mm] \IZ_{3} \times \IZ_{4}
[/mm]
abelsch ist. Also muß G abelsch sein. Ob es sinnvoll ist zu zeigen
das G abelsch ist ist eine andere Frage. Der Knackpunkt ist:
Wenn eine Gruppe Produkt von zwei Untergruppen ist, dann müssen
die Elemente der einen Untergruppe mit denen der anderen vertauschbar
sein. Oder anders gesagt die beiden Untergruppen müssen Normalteiler
sein
>
> Dann habe ich ein Element a genommen, wie du es gesagt
> hast, mit ord a = 4. D.h. doch, dass <a> [mm] \cong \IZ_{4} [/mm]
> oder?
Ja genau
> Und <a> = A = [mm] \{e,a, a^{2}, a^{3}\}.
[/mm]
> In der Gruppe A
> soll es 2 Elemente geben, mit der Ordnung 4. Warum sind das
> genau a und [mm] a^{3}? [/mm] Wieso kann das nicht [mm] a^{2} [/mm] sein?
Weil [mm] a^{2} [/mm] die Ordnung 2 hat:
[mm] a^{2}a^{2} [/mm] = [mm] a^{4} [/mm] = e
>
> Dann soll ich zeigen, dass A Normalteiler ist. Aber wie
> kann ich denn zeigen, dass [mm]\forall[/mm] g [mm]\in[/mm] G gilt [mm]gAg^{-1}[/mm] =
> A bzw. dass B Normalteiler ist?
Wenn A kein Normalteiler ist, dann gibt es ein g mit [mm] gAg^{-1} \not= [/mm] A
Man kann nun beweisen das die Menge [mm] gAg^{-1} [/mm] auch eine Untergruppe
ist man nennt sie eine konjugierte Untergruppe von A. Sie ist immer
isomoprh zu A. In unserem Fall muß A also auch Elemente der Ordnung 4
enthalten. Das ist erstmal noch kein Widerspruch, weil sich A vieleicht nur
in Elementen untescheidet die nicht die Ordnung 4 haben. Da aber
A von einem der beiden Elemente der Ordnung 4 erzeugt wird, geht
das nicht.
>
> Für B gilt doch B = <b>= [mm] \{ e,b,b^{2} \} [/mm] , mit ord b = 3.
> Dann haben wir A [mm]\cap[/mm] B = {e}
>
> Wenn man nun gezeigt hat, dass A und B Normalteiler sind,
> dann folgt G [mm]\cong[/mm] A [mm]\times[/mm] B.
> Nun ist |A| = 4 und |B| = 3. Ich versteh nun nicht warum A
> [mm]\cong \IZ_{4}[/mm] ist, weil 4 nicht prim ist. Aber es gilt doch
> allgemein, dass für p prim ist jede Gruppe der Ordnung p
> isomorph zu [mm]\IZ_{p}[/mm] oder?
Ja
> Oder gilt das für alle p?
Nein. Es gilt nur für p prim.
Wenn p nicht prim ist dann gibt es mehr als eine Möglichkeit.
Zum Beispiel n=4 hier gibt es 2 Möglichkeiten
[mm] \IZ_{2}x\IZ_{2} [/mm] und [mm] \IZ_{4}
[/mm]
Trotzdem gibt es zu jedem n egal ob prim oder nicht eine zyklische
Gruppe der Ordnung n. Jede zyklische Gruppe der Ordnung n
enthält mindestens ein Element der Ordnung n. Andersherum wenn
eine Gruppe die Ordnung n hat und ein Elemnet der Ordnung n enhält
dann ist es die zyklische Gruppe [mm] \IZ_{n}. [/mm] Das ist bei uns der Fall
mit n = 4.
> Wo geht im Beweis genau ein, dass G abelsch ist?
Wenn wir hätten zeigen können, das G abelsch ist, dann wären
alle Untergruppen Normalteiler.
Die Formulierung wir müssen zeigen, dass G abelsch ist war schlecht.
komduck
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:06 Do 03.05.2007 | | Autor: | Moe007 |
Hallo komduck,
vielen Dank für deine ausführliche Antwort. Jetzt ist mir alles schon viel klarer wie zu Beginn.
Ich hab jetzt noch ein paar Fragen zu deiner Antwort.
> Ich bin davon ausgegangen, das klar ist das [mm]\IZ_{3} \times \IZ_{4}[/mm] abelsch ist.
Ist das abelsch, weil [mm] \IZ_{3} [/mm] und [mm] \IZ_{4} [/mm] zyklisch sind? Mir ist das nicht mehr so klar, warum das abelsch ist.
> > Dann soll ich zeigen, dass A Normalteiler ist. Aber wie
> > kann ich denn zeigen, dass [mm]\forall[/mm] g [mm]\in[/mm] G gilt [mm]gAg^{-1}[/mm] =
> > A bzw. dass B Normalteiler ist?
> Wenn A kein Normalteiler ist, dann gibt es ein g mit
> [mm]gAg^{-1} \not=[/mm] A
> Man kann nun beweisen das die Menge [mm]gAg^{-1}[/mm] auch eine
> Untergruppe
> ist man nennt sie eine konjugierte Untergruppe von A. Sie
> ist immer
> isomoprh zu A. In unserem Fall muß A also auch Elemente
> der Ordnung 4
> enthalten. Das ist erstmal noch kein Widerspruch, weil
> sich A vieleicht nur
> in Elementen untescheidet die nicht die Ordnung 4 haben.
> Da aber
> A von einem der beiden Elemente der Ordnung 4 erzeugt
> wird, geht
> das nicht.
Ich habe den Widerspruchsbeweis nicht so ganz verstanden. Warum ist [mm] gAg^{-1} \cong [/mm] A, wenn man angenommen hat, dass [mm] gAg^{-1} \not= [/mm] A?
A hat doch 2 Elemente der Ordnung 4. Was meinst du genau mit dem Satz
"Das ist erstmal noch kein Widerspruch, weil sich A vieleicht nur in Elementen untescheidet die nicht die Ordnung 4 haben.
> Da aber A von einem der beiden Elemente der Ordnung 4 erzeugt wird,geht das nicht. "
Könntest du deine Argumentation mir genauer erklären? Das wäre sehr nett.
Kann man das bei B auch mit so einem Widerspruchsbeweis machen?
Ich danke dir für deine Hilfe.
Viele Grüße,
Moe
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:45 Fr 04.05.2007 | | Autor: | statler |
Mahlzeit Moe!
> Ich habe den Widerspruchsbeweis nicht so ganz verstanden.
> Warum ist [mm]gAg^{-1} \cong[/mm] A, wenn man angenommen hat, dass
> [mm]gAg^{-1} \not=[/mm] A?
Es ist immer [mm] gAg^{-1}[/mm] [mm]\cong[/mm] A, das kann man nachrechnen. Die Abbildung a [mm] \mapsto gag^{-1} [/mm] ist bijektiv und strukturerhaltend.
> A hat doch 2 Elemente der Ordnung 4.
nämlich a und [mm] a^{3}, [/mm] und das sind auch alle, die es in G gibt. Isomorphismen erhalten die Ordnung eines Elementes, also ist das Bild von a gleich a oder gleich [mm] a^{3}. [/mm] Wenn es gleich a ist, ist dieser Isomorphismus auf A die Identität. Wenn es gleich [mm] a^{3} [/mm] ist, ist er nicht die Identität, bildet aber immer noch A als Ganzes auf sich ab. Man kann nämlich jedes einzelne Bild ausrechnen und das prüfen. In beiden Fällen ist A ein Normalteiler in G.
> Kann man das bei B auch mit so einem Widerspruchsbeweis
> machen?
Dazu habe ich oben eine Mitteilung gemacht.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:22 Fr 04.05.2007 | | Autor: | Moe007 |
Hallo statler,
danke für deine Antwort. Ich hab noch eine Frage und zwar:
>
> nämlich a und [mm]a^{3},[/mm] und das sind auch alle, die es in G
> gibt. Isomorphismen erhalten die Ordnung eines Elementes,
> also ist das Bild von a gleich a oder gleich [mm]a^{3}.[/mm] Wenn es
> gleich a ist, ist dieser Isomorphismus auf A die Identität.
Das hab ich verstanden.
> Wenn es gleich [mm]a^{3}[/mm] ist, ist er nicht die Identität,
> bildet aber immer noch A als Ganzes auf sich ab. Man kann
> nämlich jedes einzelne Bild ausrechnen und das prüfen. In
> beiden Fällen ist A ein Normalteiler in G.
Wieso wird immer noch A als Ganzes auf sich abgebildet, wenn das Bild = [mm] a^{3} [/mm] ist? Es gilt doch <a> = A, also A wird von a erzeugt und nicht von [mm] a^{3}.
[/mm]
Und wieso folgt nun daraus, dass A Normalteiler ist? Wo hab ich gezeigt dass [mm] gAg^{1} [/mm] = A [mm] \forall [/mm] g [mm] \in [/mm] G ist?
Ich hab das leider noch nicht so verstanden.
>
> > Kann man das bei B auch mit so einem Widerspruchsbeweis
> > machen?
>
> Dazu habe ich oben eine Mitteilung gemacht.
Da soll ich zeigen, dass die Konjugation von b auf A die Identität ergibt, also [mm] bAb^{1} [/mm] = A oder? Aber ich will doch zeigen, dass B Normalteiler ist.
Wieso muss ich hier A nehmen?
Dann hast du geschrieben:
Sei das [mm] \phi. [/mm] Wäre [mm] \phi(a) [/mm] = [mm] a^{3}, [/mm] dann [mm] \phi^{2}(a) [/mm] = [mm] a^{9} [/mm] = a und [mm] \phi [/mm] = [mm] \phi^{4} [/mm] doch die Identität. Widerspruch.
Das ist mir leider auch nicht so klar. Was ist denn genau das [mm] \phi? [/mm] Und warum gilt [mm] \phi [/mm] = [mm] \phi^{4}? \phi^{4}(a) [/mm] = [mm] a^{12} [/mm] = 0 oder? Wieso ist das die Identität?
Ich hoffe, du erklärst es mir.
Danke schonmal!!
Viele Grüße,
Moe
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:57 So 06.05.2007 | | Autor: | statler |
Guten Morgen Moe!
> > Wenn es gleich [mm]a^{3}[/mm] ist, ist er nicht die Identität,
> > bildet aber immer noch A als Ganzes auf sich ab. Man kann
> > nämlich jedes einzelne Bild ausrechnen und das prüfen. In
> > beiden Fällen ist A ein Normalteiler in G.
> Wieso wird immer noch A als Ganzes auf sich abgebildet,
> wenn das Bild = [mm]a^{3}[/mm] ist? Es gilt doch <a> = A, also A
> wird von a erzeugt und nicht von [mm]a^{3}.[/mm]
A wird auch von [mm] a^{3} [/mm] erzeugt: [mm] (a^{3})^{2} [/mm] = [mm] a^{6} [/mm] = [mm] a^{2}, (a^{3})^{3} [/mm] = [mm] a^{9} [/mm] = a und [mm] (a^{3})^{4} [/mm] = [mm] a^{12} [/mm] = e voilá
> Und wieso folgt nun daraus, dass A Normalteiler ist? Wo
> hab ich gezeigt dass [mm]gAg^{1}[/mm] = A [mm]\forall[/mm] g [mm]\in[/mm] G ist?
Das steht jetzt da, ich weiß gar nicht, was ich dazu noch sagen soll!
> Da soll ich zeigen, dass die Konjugation von b auf A die
> Identität ergibt, also [mm]bAb^{1}[/mm] = A oder?
Nein, das ist etwas anderes! [mm]bAb^{1}[/mm] = A bedeutet eben, daß A als Ganzes (als Menge) invariant ist. Identität bedeutet, daß jedes Element invariant ist, und dafür reicht es, daß das erzeugende Element a invariant ist, daß also [mm] bab^{-1} [/mm] = a gilt.
Du sollst versuchen zu zeigen, daß der einzige andere mögliche Fall [mm] bab^{-1} [/mm] = [mm] a^{3} [/mm] nicht sein kann, da er zu einem Widerspruch führt.
Die Abbildung [mm] \phi(x) [/mm] ist definiert durch [mm] \phi(x) [/mm] = [mm] bxb^{-1}.
[/mm]
Gruß und schönen Sonntag
Dieter
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:22 So 06.05.2007 | | Autor: | Moe007 |
Hallo statler,
danke für deine Antwort. Dass A von a und von [mm] a^{3} [/mm] erzeugt wird, ist mir nun klar. Aber ich seh daraus nicht, dass A Normalteiler ist. Wo habe ich genau die Konjugation [mm] gAg^{-1} [/mm] = A gezeigt? Irgendwie seh ich nicht, dass es da steht... Ich hoffe, du erklärst es mir nochmal.
Dann soll ich zeigen, dass der Fall [mm] bab^{-1} [/mm] = [mm] a^{3} [/mm] nicht sein kann. Warum muss ich das genau zeigen? Das ist mir noch nicht so klar.
Gehört das immer noch zum Beweis, dass A Normalteiler ist? Oder zum Beweis, dass B Normalteiler ist.
Wie kann ich zeigen, dass B Normalteiler ist?
Sorry für meine vielen Fragen. Aber ich hoffe, du kannst es mir nochmal erklären.
Viele Grüße und danke,
Moe
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:22 So 06.05.2007 | | Autor: | Moe007 |
Hallo,
ich hab versucht, zu zeigen, dass [mm] gag^{-1} [/mm] = [mm] a^{3} [/mm] nicht sein kann:
Ich hab erstmal beide Seiten quadriert [mm] (gag^{-1})^{2} [/mm] = [mm] a^{9} [/mm] = a
[mm] g^{-2}a^{2}g^{2} [/mm] = a
[mm] a^{2}g^{2} [/mm] = [mm] g^{2} [/mm] a
Dann habe ich [mm] g^{2} [/mm] auf beiden Seiten gekürzt, und dann steht [mm] a^{2} [/mm] = a ist, was ein Widerspruch ist, da a Ordnung 4 hat, und [mm] a^{2} [/mm] Ordnung 2.
Stimmt der Beweis so?
Gruß,
Moe
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 07:31 Mo 07.05.2007 | | Autor: | statler |
Guten Morgen!
> ich hab versucht, zu zeigen, dass [mm]gag^{-1}[/mm] = [mm]a^{3}[/mm] nicht
> sein kann:
> Ich hab erstmal beide Seiten quadriert [mm](gag^{-1})^{2}[/mm] =
> [mm]a^{9}[/mm] = a
Wieso 'hoch 9'? [mm] (a^{3})^{2} [/mm] = [mm] a^{6} [/mm] = [mm] a^{2}
[/mm]
> [mm]g^{-2}a^{2}g^{2}[/mm] = a
Das müßte dann wohl heißen
[mm]g^{2}a^{2}g^{-2}[/mm] = a
> [mm]a^{2}g^{2}[/mm] = [mm]g^{2}[/mm] a
> Dann habe ich [mm]g^{2}[/mm] auf beiden Seiten gekürzt,
Das geht so (noch) nicht, weil du einmal von links und einmal von rechts kürzt. Du weißt aber noch nicht, ob die Gruppe abelsch ist, das willst du erst noch zeigen.
> und dann
> steht [mm]a^{2}[/mm] = a ist, was ein Widerspruch ist, da a Ordnung
> 4 hat, und [mm]a^{2}[/mm] Ordnung 2.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:35 Mo 07.05.2007 | | Autor: | Moe007 |
Hallo statler,
kannst du mir einen Tipp geben, wie ich den Widerspruchsbeweis machen muss? Ich komm von allein leider nicht drauf.... Kann man das auch zeigen, ohne zu zeigen, dass G abelsch ist?
wenn nicht, wie kann ich zeigen, dass G abelsch ist? Noch weiß ich ja nicht, dass G [mm] \cong \IZ_{3} \times \IZ_{4} [/mm] und dann kann ich die Kommutativität von G nist so draus folgern.
Ich wäre dir sehr dankbar, wenn du mir einen Tipp geben könntest, damit ich ungefähr weiß, wie das geht.
Viele Grüße,
Moe
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:54 Mo 07.05.2007 | | Autor: | statler |
Also Moe:
Aus [mm] bab^{-1} [/mm] = [mm] a^{3} [/mm] folgt
[mm] b^{2}ab^{-2} [/mm] = [mm] b(bab^{-1})b^{-1} [/mm] = [mm] ba^{3}b^{-1} [/mm] = [mm] ba(b^{-1}b)a(b^{-1}b)ab^{-1} [/mm] = [mm] (bab^{-1})^{3} [/mm] = [mm] (a^{3})^{3} [/mm] = [mm] a^{9} [/mm] = a
Jetzt ist aber
[mm] bab^{-1} [/mm] = [mm] b^{4}ab^{-4} [/mm] = [mm] b^{2}(b^{2}ab^{-2})b^{-2} [/mm] = [mm] b^{2}ab^{-2} [/mm] = a
was einen Widerspruch ergibt.
Liebe Grüße
Dieter
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