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hallo zusammen,
mus glaube ich mal ein ganz triviale Frage Stellen..
Kann mir jemand mal sagen, was gilt wenn es heißt dass zwei Vektorräume meinetwegen V und W isomorph sind???
Hab bereits bei Wikipedia sowie Skript, sowei Fischer, nachgeschaut aber hab diesbezgl. nichts eindeutiges gefunden!!:-(
Wäre prima, wenn mir jemand von euch das mal sagen könnte!!
Vielen liebenDank, viele Grüße, der mathedepp_No.1
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Hallo und guten Tag,
mal Ernsthaftigkeit unterstellend - denn der ''Fischer zB gibt da schon ordentlich Auskunft, und es gibt ja auch weitere
schöne Lehrbücher, die man konsultieren wird, bevor man aus lauter Verzweiflung Wikipedia fragt - kann man wie folgt antworten: Zwei Vektorräume V und W über dem Körper K sind isomorph genau dann, wenn es einen Vektorraumisomorphismus [mm] f\colon V\to [/mm] W gibt, also eine bijektive K-lineare Abbildung von V nach W, was im übrigen genau dann der Fall ist, wenn [mm] \dim_K(V)=\dim_K(W) [/mm] - eine Tatsache, die für den endlichdimensionalen Fall durchaus leicht zu zeigen ist: Nimm ne Basis von V und ne Basis von W, diese haben gleiche Kardinalität und Du kannst eine beliebige Bijektion dieser Basen zu nem K-Vektorraumisomorphismus erweitern.
Gruss,
Mathias
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hallo,
erstmal vielen Dank für die rasche Antwort.
> Zwei Vektorräume V und W über dem Körper K
> sind isomorph genau dann, wenn es einen
> Vektorraumisomorphismus [mm]f\colon V\to[/mm] W gibt, also eine
> bijektive K-lineare Abbildung von V nach W.
zwischen diesen beiden aussagen besteht äquivalenz???
achso heir steht ja dann gibt es EINEN Isomorphismus. ok glaube das stimmt ja so. Haatte nur zu Beginn gezweifelt, denn wenn V und W isomorph sind, dann ist ja F: V [mm] \to [/mm] W nicht immer ein Isomorphismus, zb. Die Nullabbildung wäre dafür ein Beispiel für F : [mm] \IQ \to \IQ, [/mm] nicht wahr??
was im übrigen
> genau dann der Fall ist, wenn [mm]\dim_K(V)=\dim_K(W)[/mm] - eine
> Tatsache, die für den endlichdimensionalen Fall durchaus
> leicht zu zeigen ist: Nimm ne Basis von V und ne Basis von
> W, diese haben gleiche Kardinalität und Du kannst eine
> beliebige Bijektion dieser Basen zu nem
> K-Vektorraumisomorphismus erweitern.
Also besteht doch folgende Äquivalenz laut deiner Definition:
Seien V, W Vektorräume über einem Körper K
Dann gilt: V und W isomorph [mm] \gdw [/mm] dimV=DimW
???
Viele liebe Grüße, der mathedepp_No.1
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:59 Di 16.01.2007 | | Autor: | SEcki |
> zwischen diesen beiden aussagen besteht äquivalenz???
Das ist die Definiton ... *seufz* Das einzige was der von Wikipedia unterscheidet, ist das man nicht verlangen muss, dass die Umkehrabbildung linear ist - denn das folgt hier schon. (Bei stetigen Abbildungen zB nicht mehr ...)
> achso heir steht ja dann gibt es EINEN Isomorphismus. ok
> glaube das stimmt ja so. Haatte nur zu Beginn gezweifelt,
> denn wenn V und W isomorph sind, dann ist ja F: V [mm]\to[/mm] W
> nicht immer ein Isomorphismus, zb. Die Nullabbildung wäre
> dafür ein Beispiel für F : [mm]\IQ \to \IQ,[/mm] nicht wahr??
Ja, genau.
> Also besteht doch folgende Äquivalenz laut deiner
> Definition:
>
> Seien V, W Vektorräume über einem Körper K
>
> Dann gilt: V und W isomorph [mm]\gdw[/mm] dimV=DimW
Ja, das ist ein Satz aus der linearen Algebra,
SEcki
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:52 Di 16.01.2007 | | Autor: | Fabbi |
Hi
cool!!!! Du benutzt die Fachsprache der Mathematiker!!
Trivial ist ein tolles wort, oder??  mfg Fabbi
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