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Isomorphie: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:33 Di 16.01.2007
Autor: mathedepp_No.1

hallo zusammen,

mus glaube ich mal ein ganz triviale Frage Stellen..:-)

Kann mir jemand mal sagen, was gilt wenn es heißt dass zwei Vektorräume meinetwegen V und W isomorph sind???

Hab bereits bei Wikipedia sowie Skript, sowei Fischer, nachgeschaut aber hab diesbezgl. nichts eindeutiges gefunden!!:-(

Wäre prima, wenn mir jemand von euch das mal sagen könnte!!

Vielen liebenDank, viele Grüße, der mathedepp_No.1

        
Bezug
Isomorphie: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:41 Di 16.01.2007
Autor: mathiash

Hallo und guten Tag,

mal Ernsthaftigkeit unterstellend - denn der ''Fischer zB gibt da schon ordentlich Auskunft, und es gibt ja auch weitere
schöne Lehrbücher, die man konsultieren wird, bevor man aus lauter Verzweiflung Wikipedia fragt - kann man wie folgt antworten: Zwei Vektorräume V und W über dem Körper K sind isomorph genau dann, wenn es einen Vektorraumisomorphismus [mm] f\colon V\to [/mm] W gibt, also eine bijektive K-lineare Abbildung von V nach W, was im übrigen genau dann der Fall ist, wenn [mm] \dim_K(V)=\dim_K(W) [/mm]  - eine Tatsache, die für den endlichdimensionalen Fall durchaus leicht zu zeigen ist: Nimm ne Basis von V und ne Basis von W, diese haben gleiche Kardinalität und Du kannst eine beliebige Bijektion dieser Basen zu nem K-Vektorraumisomorphismus erweitern.

Gruss,

Mathias

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Isomorphie: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:51 Di 16.01.2007
Autor: mathedepp_No.1

hallo,

erstmal vielen Dank für die rasche Antwort.

> Zwei Vektorräume V und W über dem Körper K
> sind isomorph genau dann, wenn es einen
> Vektorraumisomorphismus [mm]f\colon V\to[/mm] W gibt, also eine
> bijektive K-lineare Abbildung von V nach W.

zwischen diesen beiden aussagen besteht äquivalenz???
achso heir steht ja dann gibt es EINEN Isomorphismus. ok glaube das stimmt ja so. Haatte nur zu Beginn gezweifelt, denn wenn V und W isomorph sind, dann ist ja F: V [mm] \to [/mm] W nicht immer ein Isomorphismus, zb. Die Nullabbildung wäre dafür ein Beispiel für F : [mm] \IQ \to \IQ, [/mm] nicht wahr??

was im übrigen

> genau dann der Fall ist, wenn [mm]\dim_K(V)=\dim_K(W)[/mm]  - eine
> Tatsache, die für den endlichdimensionalen Fall durchaus
> leicht zu zeigen ist: Nimm ne Basis von V und ne Basis von
> W, diese haben gleiche Kardinalität und Du kannst eine
> beliebige Bijektion dieser Basen zu nem
> K-Vektorraumisomorphismus erweitern.


Also besteht doch folgende Äquivalenz laut deiner Definition:

Seien V, W Vektorräume über einem Körper K

Dann gilt: V und W isomorph [mm] \gdw [/mm] dimV=DimW

???

Viele liebe Grüße, der mathedepp_No.1



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Isomorphie: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:59 Di 16.01.2007
Autor: SEcki


> zwischen diesen beiden aussagen besteht äquivalenz???

Das ist die Definiton ... *seufz* Das einzige was der von Wikipedia unterscheidet, ist das man nicht verlangen muss, dass die Umkehrabbildung linear ist - denn das folgt hier schon. (Bei stetigen Abbildungen zB nicht mehr ...)

>  achso heir steht ja dann gibt es EINEN Isomorphismus. ok
> glaube das stimmt ja so. Haatte nur zu Beginn gezweifelt,
> denn wenn V und W isomorph sind, dann ist ja F: V [mm]\to[/mm] W
> nicht immer ein Isomorphismus, zb. Die Nullabbildung wäre
> dafür ein Beispiel für F : [mm]\IQ \to \IQ,[/mm] nicht wahr??

Ja, genau.

> Also besteht doch folgende Äquivalenz laut deiner
> Definition:
>  
> Seien V, W Vektorräume über einem Körper K
>  
> Dann gilt: V und W isomorph [mm]\gdw[/mm] dimV=DimW

Ja, das ist ein Satz aus der linearen Algebra,

SEcki

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Isomorphie: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:52 Di 16.01.2007
Autor: Fabbi

Hi
cool!!!! Du benutzt die Fachsprache der Mathematiker!!
Trivial ist ein tolles wort, oder?? ;-) mfg Fabbi


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