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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 17:29 So 11.09.2005 | | Autor: | Phobos |
Kann mir jemand erklären wie ich zu einer Isometrie (die auch in Normalform vorliegt) , die zugehörige Transformationsmatrix bekomme? Ne anleitung wär super.
Gruß Phobos
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:12 Mo 12.09.2005 | | Autor: | AT-Colt |
Könntest Du eine solche Normalform vielleicht beispielhaft aufschreiben? Ich habe z.B. (soweit ich mich erinnern kann) immer sofort Matrizen für die Isometrie vorgesetzt bekommen und mit einem Beispiel könnte ich mich vielleicht hineinversetzen in das, was zu tun ist.
greetz
AT-Colt
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:15 Mo 12.09.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo Phobos!
Wie AT-Colt schon meinte, ist es hier völlig unklar, was du wissen willst. Bitte beschreibe dein Problem deutlicher, damit wir dir helfen können.
Wie habt ihr eine Isometrie definiert?
Was ist bei dir die Normalform einer Isometrie?
Welche Transformationsmatrix ist hier gesucht?
Viele Grüße
Stefan
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:58 Mo 12.09.2005 | | Autor: | Phobos |
Alles klar.
Definition:
Seien V,W Euklidische Vektorräume. Dann heißt ein Abbildung [mm] \Phi\in [/mm] Hom(V,W) Isometrie, wenn gilt [mm] =<\Phi(x),\Phi(y)>
[/mm]
Für jede Darstellungsmatrix A einer Isometrie, gibt es eine Matrix S, so dass [mm] A'=S^{T}AS [/mm] folgende gestalt hat:
[mm] \pmat{ 1 & & & & & & & & & & &\\ & ... & & & & & & & & & &\\ & & 1 & & & & & & & & &\\ & & & -1 & & & & & & & &\\ & & & & ... & & & & & & &\\ & & & & & -1 & & & & & &\\ & & & & & & cos \omega_{1} & -sin \omega_{1} & & & &\\ & & & & & & sin \omega_{1} & cos \omega_{1} & & & &\\ & & & & & & & & ... & & & \\ & & & & & & & & & cos \omega_{k} & -sin \omega_{k}& \\ & & & & & & & & & sin \omega_{k} & cos \omega_{k} & \\}
[/mm]
(die Einträge links in den letzten beiden Zeilen sollten eigentlich auch ganz rechts stehen. Ka warum das nicht klappt)
A' befindet sich jetzt in Isometrienormalform. S ist die transformationsmatrix.
Und wie man auf die kommt wüsste ich gerne.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:36 Mo 12.09.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Okay, du suchst also die Transformationsmatrix für die Normalform einer orthogonalen Abbildung.
Dazu fasst du die Matrix als komplexe Matrix auf (dann ist sie unitär und damit über [mm] $\IC$ [/mm] diagonalisierbar). Für die Eigenwerte [mm] $\lambda=1$ [/mm] und [mm] $\lambda=-1$ [/mm] erhältst du reelle Eigenvektoren, die du in die (ersten) Spalten der Transformationsmatrix schreibst.
Ein Problem tritt auf, wenn die Eigenwerte [mm] $\lambda \in \IC \setminus \IR$ [/mm] komplex sind. (Dann gilt notwendigerweise [mm] $|\lambda|=1$).
[/mm]
Ist dann $v [mm] \in \IC^n$ [/mm] ein Eigenvektor, dann gilt:
$A [mm] \, [/mm] Re(v) = [mm] Re(\lambda) \, [/mm] Re(v) - [mm] Im(\lambda) \, [/mm] Im(v)$
und
[mm] $A\, [/mm] Im(v) = [mm] Re(\lambda)\, [/mm] Im(v) + [mm] Im(\lambda)\, [/mm] Re(v)$.
Man muss also in diesem Fall $Im(v)$ und $Re(v)$ in zwei aufeinanderfolgende Spalten der Transformationsmatrix schreiben.
Viele Grüße
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:56 Mo 12.09.2005 | | Autor: | Phobos |
Ist es also im prinzip einfach so, dass ich zu den Eigenwerten [mm] \pm [/mm] 1 einfach die Eigenvektoren nehme und von allen anderen Eigenwerten Real- und Imaginärteil der zugehörigen Eigenvektoren getrennt?
Und das wars schon?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:59 Mo 12.09.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo Phobos!
Genau so! (Hoffe ich jedenfalls...  ) Probiere es doch mal aus...
Liebe Grüße
Stefab
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