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Hallo,
ich versuche momentan den Beweis eines Satzes zu verstehen, der auch gleichzeitig ein Verfahren zur Bestimmung der Normalform einer Isometrie herleitet. Leider verstehe ich den Beweis teilweise nicht.
Ich fasse den Beweis teilweise zusammen:
Sei V ein euklidischer Vektorraum, dim V := n, [mm] \Phi \in [/mm] End(V) und [mm] \Phi [/mm] Isometrie.
Dann weiter: [mm] \Psi [/mm] := [mm] \Phi [/mm] + [mm] \Phi^{+} [/mm] = [mm] \Phi [/mm] + [mm] \Phi^{-1}, [/mm] wobei [mm] \Phi^{+} [/mm] die Adjungierte zu [mm] \Phi [/mm] ist.
Man stelle fest: [mm] \Psi [/mm] ist selbstadjungiert. Daher existiert in V eine ONB aus Eigenvektoren von [mm] \Psi.
[/mm]
Daraus folgt, dass V = [mm] E_2 \oplus E_{-2} \oplus E_{c_1} \oplus [/mm] ... [mm] \oplus E_{c_l}, c_i \not= \pm [/mm] 2.
Hinweis: [mm] E_c [/mm] bezeichne den Eigenraum zum Eigenwert c von [mm] \Psi.
[/mm]
Hinweis: Der Eigenwert [mm] \pm [/mm] 2 von [mm] \Psi [/mm] existiert genau dann wenn [mm] \pm [/mm] 1 Eigenwert von [mm] \Phi.
[/mm]
Behauptung: Alle Eigenräume [mm] E_c [/mm] von [mm] \Psi [/mm] sind [mm] \Phi [/mm] invariant.
Jetzt kommt das, was ich nicht ganz verstehe...
Beweis: x [mm] \in E_c \Rightarrow \Psi(\Phi(x)) [/mm] = [mm] (\Phi [/mm] + [mm] \Phi^{-1})(\Phi(x)) [/mm] = [mm] \Phi \circ (\Phi [/mm] + [mm] \Phi^{-1})(x) [/mm] = usw...
Die letzte Umformung verstehe ich nicht ganz. Wie wird aus:
[mm] \Phi [/mm] + [mm] \Phi^{-1})(\Phi(x)) [/mm] gleich [mm] \Phi \circ (\Phi [/mm] + [mm] \Phi^{-1})(x)
[/mm]
?
Danke. 
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:25 Do 26.02.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo
> Die letzte Umformung verstehe ich nicht ganz. Wie wird
> aus:
>
> [mm]\Phi[/mm] + [mm]\Phi^{-1})(\Phi(x))[/mm] gleich [mm]\Phi \circ (\Phi[/mm] +
> [mm]\Phi^{-1})(x)[/mm]
Nun, da [mm] $\Phi^{-1}$ [/mm] das Inverse von [mm] $\Phi$ [/mm] ist, gilt [mm] $\Phi^{-1} \circ \Phi [/mm] = id = [mm] \Phi \circ \Phi^{-1}$.
[/mm]
Damit hast du [mm] $(\Phi [/mm] + [mm] \Phi^{-1})(\Phi(x)) [/mm] = [mm] ((\Phi [/mm] + [mm] \Phi^{-1}) \circ \Phi)(x) [/mm] = [mm] (\Phi \circ \Phi [/mm] + [mm] \Phi^{-1} \circ \Phi)(x) [/mm] = [mm] (\Phi \circ \Phi [/mm] + [mm] \Phi \circ \Phi^{-1})(x) [/mm] = [mm] (\Phi \circ (\Phi [/mm] + [mm] \Phi^{-1}))(x)$.
[/mm]
LG Felix
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