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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:43 Mo 05.07.2010 | | Autor: | krvat |
| Aufgabe 1 | | Zeigen Sie, dass jede Isometrie f: [mm] \IR^3 \to \IR^3 [/mm] mit f(0)=0 eine lineare Abbildung ist. |
| Aufgabe 2 | | Zeigen Sie, dass jede Isometrie winkeltreu ist. |
| Aufgabe 3 | | Zeigen Sie, dass jede orthogonale Abbildung eine Isometrie ist. |
Also Aufgabe 2 und 3 habe ich soweit selbst gelöst, will nur nachfragen, ob das so in Ordnung geht.
Bei Aufgabe 1 habe ich keinen Ansatz, vielleicht kann mir jemand weiterhelfen.
Zu Aufgabe 2:
Da habe ich diese Formel für den Winkel genommen.
cos a = [mm] \bruch{u*v}{\parallel u \parallel *\parallel v\parallel}
[/mm]
Da ich die Isometrie gegeben habe: d(f(x),f(y))=d(x,y)
bekomme ich cos a = [mm] \bruch{u*v}{\parallel f(u) \parallel * \parallel f(v) \parallel} [/mm] = [mm] \bruch{( \parallel u*v \parallel )^2}{\parallel f(u) \parallel * \parallel f(v) \parallel} [/mm] = [mm] \bruch{(\wurzel{(u*v)*(u*v)})^2}{\parallel f(u) \parallel * \parallel f(v) \parallel} [/mm] = [mm] \bruch{(\wurzel{f(u*v)*f(u*v)})^2}{\parallel f(u) \parallel * \parallel f(v) \parallel} [/mm] = [mm] \bruch{( \parallel f(u*v) \parallel )^2}{\parallel f(u) \parallel * \parallel f(v) \parallel} [/mm] = [mm] \bruch{f(u*v)}{\parallel f(u) \parallel * \parallel f(v) \parallel}
[/mm]
Und daraus folgt winkeltreu bzw. erhaltend, da eben auch im Bild das selbe herauskommt.
Aufgabe 3:
Orthogonale Abbildungen: [mm] L:\IR^n \to \IR^n [/mm] mit L(v)*L(w)=v*w
L(v)*L(w)=v*w [mm] \gdw \wurzel{L(v)*L(w)}=\wurzel{v*w}
[/mm]
w=v=b-c [mm] \Rightarrow \wurzel{L(b-c)*L(b-c)}=\wurzel{(b-c)*(b-c)}=\parallel b-c\parallel [/mm] =d(b,c)=d(f(b),f(c))
Dies kommt mir aber persönlich irgendwie nicht richtig vor, bitte deswegen um Rückmeldung. 
Aufgabe 1:
Für Linearität gilt: f(a+b)=f(a)+f(b) und [mm] f(\lambda *a)=\lambda [/mm] *f(a)
Isometrieeigenschaft: d(x,y)=d(f(x),f(y)). Wie kann ich das in Verbindung setzen?
Danke im Voraus.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:33 Mo 05.07.2010 | | Autor: | pelzig |
Hallo,
Wie genau habt ihr Isometrie definiert? Ist es so gemeint dass du den [mm] $\IR^3$ [/mm] mit einem Skalarprodukt [mm] $\alpha$ [/mm] hast und dann f eine Isometrie bzgl. der von [mm] $\alpha$ [/mm] indzuzierten Metrik ist? (Ich geh im folgenden davon aus, dass es so gemeint ist)
In deiner Lösung zu Aufgabe 2 ist ein grober Fehler, [mm] $f(u\cdot [/mm] v)$ ist nicht definiert, weil [mm] $u\cdot v\in\IR$ [/mm] ist.
In Aufgabe 3 musst du aufpassen, die erste Äquivalenz die du geschrieben hast gilt i.A. nicht, da die Ausdrücke unter der Wurzel negativ werden können. Schreibe doch einfach [mm] $d(x,y)^2=\alpha(x,y)=\alpha(L(x),L(y))=d(L(x),L(y))^2$.
[/mm]
Gruß, Robert
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:05 Mo 05.07.2010 | | Autor: | krvat |
Nachtrag:
[mm] V=\IR^3 [/mm] und [mm] v*w=v_{1}*w_{1}+v_{2}*w_{2}+v_{3}*w_{3} [/mm] das Skalarprodukt. Dann sei [mm] d(v,w)=\wurzel{((v-w)*(v-w))}.
[/mm]
Eine Abbildung [mm] f:\IR^3 \to \IR^3 [/mm] heißt Isometrie, wenn d(f(x),f(y))=d(x,y) für alle x,y [mm] \in \IR^3.
[/mm]
Danke für den Hinweis.
Zu Aufgabe 2: u, v sind doch die Vektoren, wo ich den Winkel zwischen messen will. Somit nicht aus [mm] \IR.
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:49 Mo 05.07.2010 | | Autor: | pelzig |
> Danke für den Hinweis.
> Zu Aufgabe 2: u, v sind doch die Vektoren, wo ich den
> Winkel zwischen messen will. Somit nicht aus [mm]\IR.[/mm]
Ja, $u,v$ sind in [mm] $\IR^3$, [/mm] aber [mm] $u\cdot v=u_1v_1+u_2v_2+u_3v_3$ [/mm] ist in [mm] $\IR$.
[/mm]
Gruß, Robert
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:50 Mo 05.07.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
Die Frage, warum $f$ linear ist, wurde vor ein paar Tagen schonmal in einem Thread beantwortet. Damit du selber eine Chance hast, hier eine Skizze:
* stelle das Skalarprodukt mit Hilfe der Metrik dar (beachte, dass $d(x, [mm] y)^2 [/mm] = [mm] \| [/mm] x - y [mm] \|^2 [/mm] = [mm] \langle [/mm] x - y, x - y [mm] \rangle$ [/mm] ist; jetzt vergleiche $d(x, [mm] y)^2$ [/mm] mit $d(0, [mm] x)^2$ [/mm] und $d(0, [mm] y)^2$);
[/mm]
* zeige damit, dass $f$ Skalarprodukte erhaelt;
* schaue dir $g(x, y) := [mm] \langle [/mm] f(x), f(y) [mm] \rangle$ [/mm] an; dies ist nach obigem gleich dem Standardskalarprodukt [mm] $\langle [/mm] x, y [mm] \rangle$, [/mm] insbesondere also bilinear;
* benutze die Bilinearitaet um zu zeigen, dass $f$ linear ist.
> Zeigen Sie, dass jede Isometrie f: [mm]\IR^3 \to \IR^3[/mm] mit
> f(0)=0 eine lineare Abbildung ist.
> Zeigen Sie, dass jede Isometrie winkeltreu ist.
> Zeigen Sie, dass jede orthogonale Abbildung eine Isometrie
> ist.
> Also Aufgabe 2 und 3 habe ich soweit selbst gelöst, will
> nur nachfragen, ob das so in Ordnung geht.
> Bei Aufgabe 1 habe ich keinen Ansatz, vielleicht kann mir
> jemand weiterhelfen.
>
> Zu Aufgabe 2:
>
> Da habe ich diese Formel für den Winkel genommen.
> cos a = [mm]\bruch{u*v}{\parallel u \parallel *\parallel v\parallel}[/mm]
Hier setze $g(x) := f(x) - f(0)$; dann ist $g$ eine Isometrie mit $g(0) = 0$, und du weisst nach obigem, dass $g$ Skalarprodukte erhaelt.
Jetzt musst du ja zeigen, dass der Winkel im Dreieck $a, b, c$ erhalten bleibt, also dass er gleich dem Winkel im Dreieck $g(a), g(b) g(c)$ ist. Man sieht sofort, dass dieser gleich dem Winkel im Dreieck $f(a), f(b), f(c)$ ist.
Der Winkel im Dreieck $a, b, c$ ist jetzt als der Winkel zwischen $b - a$ und $b - c$ gegeben, also durch [mm] $\arccos \frac{\langle b - a, b - c \rangle}{\| b - a \| \| b - c \|}$.
[/mm]
Damit kommst du weiter...
> Aufgabe 3:
>
> Orthogonale Abbildungen: [mm]L:\IR^n \to \IR^n[/mm] mit
> L(v)*L(w)=v*w
> L(v)*L(w)=v*w [mm]\gdw \wurzel{L(v)*L(w)}=\wurzel{v*w}[/mm]
>
> w=v=b-c [mm]\Rightarrow \wurzel{L(b-c)*L(b-c)}=\wurzel{(b-c)*(b-c)}=\parallel b-c\parallel[/mm]
> =d(b,c)=d(f(b),f(c))
> Dies kommt mir aber persönlich irgendwie nicht richtig
> vor, bitte deswegen um Rückmeldung.
Es ist etwas chaotisch aufgeschrieben, aber ok.
LG Felix
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:28 Di 06.07.2010 | | Autor: | krvat |
Danke für die Hilfe, bin sehr dankbar.
Bereite mich auf Prüfungen vor.
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