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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:55 Mo 02.01.2017 | | Autor: | knowhow |
| Aufgabe | Sei IH(K) Hyperbolischer Modellraum , [mm] K\subset \IR [/mm] euklidisch.
(i) Schreiben Sie die Isometrie [mm] z\mapsto \bruch{3z+4}{-4z+3} [/mm] als Produkt von Spiegelungen
(ii) Wie lautet der Fixpunkt [mm] \in [/mm] IH(K) der elliptischen Isometrie [mm] z\mapsto \bruch{3z-7}{z-2}?
[/mm]
(iii) Es bildet [mm] z\mapsto \bruch{3z+5}{z+1} [/mm] eine Gerade auf sich ab. Geben SIe die Enden an.
(iv) Geben Sie alle Matrizen in [mm] Sl_2(K) [/mm] an, die parabolischen Isometrien entsprechen, die [mm] \infty [/mm] fixieren |
Hallo zusammen,
ich brauche dringend eure Hilfe. Mir bereitet diese Aufgaben schwierigkeiten, daher bitte ich Euch um einige Tipps zu jeder Teilaufgabe.
Dankeschön im Voraus.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:28 Mo 02.01.2017 | | Autor: | hippias |
> Sei IH(K) Hyperbolischer Modellraum , [mm]K\subset \IR[/mm]
> euklidisch.
>
> (i) Schreiben Sie die Isometrie [mm]z\mapsto \bruch{3z+4}{-4z+3}[/mm]
> als Produkt von Spiegelungen
Ihr habt sicher induktiv-konstruktiv bewiesen, dass eine solche Darstellung stets möglich ist; wende die Vorgehensweise in dem Beweis auf die gegebene Isometrie an.
>
> (ii) Wie lautet der Fixpunkt [mm]\in[/mm] IH(K) der elliptischen
> Isometrie [mm]z\mapsto \bruch{3z-7}{z-2}?[/mm]
Schreibe die Definition eines Fixpunktes hin und löse die Gleichung.
>
> (iii) Es bildet [mm]z\mapsto \bruch{3z+5}{z+1}[/mm] eine Gerade auf
> sich ab. Geben SIe die Enden an.
Bestimme zuerst die Fixgerade. Sei [mm] $\phi$ [/mm] obige Isometrie. Für zwei Punkte [mm] $z_{1}, z_{2}$ [/mm] auf dieser Geraden muss gelten, dass [mm] $z_{1}-z_{2}= \lambda(z_{1}^{\phi}-z_{2}^{\phi})$ [/mm] daraus lässt sich die Gerade bestimmen. Oder hat [mm] $\phi$ [/mm] vielleicht Fixpunkte?
>
> (iv) Geben Sie alle Matrizen in [mm]Sl_2(K)[/mm] an, die
> parabolischen Isometrien entsprechen, die [mm]\infty[/mm] fixieren
Kläre zuerst, was diese Matrizen mit parabolischen Isometrien zu tun haben, und was es bedeutet, wenn [mm] $\infty$ [/mm] ein Fixpunkt ist. Daraus kannst Du die Bedingungen für die gewünschte Eigenschaft ablesen.
> Hallo zusammen,
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> ich brauche dringend eure Hilfe. Mir bereitet diese
> Aufgaben schwierigkeiten, daher bitte ich Euch um einige
> Tipps zu jeder Teilaufgabe.
>
> Dankeschön im Voraus.
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