Irrfahrt < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:49 Fr 07.11.2008 | | Autor: | xxxx |
| Aufgabe | Sei Ω = [mm] {{-1,1}}^N [/mm] die Menge der Elementarereignisse der Irrfahrt.
Sei [mm] F_k [/mm] , k [mm] \in [/mm] {1,2,3,...., N} die Menge aller bis zum Zeitpunkt n beobachtbaren Ereignisse.
a) Sei N = 3, Bestimme [mm] F_2
[/mm]
b) Sei N beliebig, Zeige, dass fuer A,B [mm] \in F_n [/mm] gilt:
A [mm] \cap [/mm] B [mm] \in F_n [/mm] , A [mm] \cup [/mm] B [mm] \in F_n [/mm] und [mm] A^c \in F_n [/mm] |
Also ich bin mir bei der a nicht so ganz sicher, weil ich nicht weiss, ob ich das verstanden habe, aber das bedeutet hier doch nichts anderes, als dass ich alle möglichen beobachtbaren Ereignisse angeben muss oder...
wenn ich also z.B einen Wuerfel hätte, und es darf nur eine grade Zahl geworfen werden, dann wäre mein F = {2,4,6}
so nur wie schreib ich das hier auf... weil ich muss ja den "Ort" angeben, wo meine Irrfahrt gerade ist. Kann ich das ueber ein Koordinatensysem machen...
wäre echt super wenn mir jemand helfen könnte
xxxx
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> Sei Ω = [mm]\{-1,1\}^N[/mm] die Menge der Elementarereignisse
> der Irrfahrt.
> Sei [mm]F_k[/mm] , k [mm]\in[/mm] {1,2,3,...., N} die Menge aller bis zum
> Zeitpunkt n beobachtbaren Ereignisse.
müsste wohl heissen: bis zum Zeitpunkt k
>
> a) Sei N = 3, Bestimme [mm]F_2[/mm]
>
> b) Sei N beliebig, Zeige, dass fuer A,B [mm]\in F_n[/mm] gilt:
>
> A [mm]\cap[/mm] B [mm]\in F_n[/mm] , A [mm]\cup[/mm] B [mm]\in F_n[/mm] und [mm]A^c \in F_n[/mm]
> Also
> ich bin mir bei der a nicht so ganz sicher, weil ich nicht
> weiss, ob ich das verstanden habe, aber das bedeutet hier
> doch nichts anderes, als dass ich alle möglichen
> beobachtbaren Ereignisse angeben muss oder...
>
> wenn ich also z.B einen Wuerfel hätte, und es darf nur eine
> grade Zahl geworfen werden, dann wäre mein F = {2,4,6}
>
> so nur wie schreib ich das hier auf... weil ich muss ja den
> "Ort" angeben, wo meine Irrfahrt gerade ist. Kann ich das
> ueber ein Koordinatensysem machen...
Meiner Ansicht nach ist diese Aufgabe nicht wirklich deutlich
gestellt. Es scheint sich um den Random Walk auf der Menge [mm] \IZ
[/mm]
der ganzen Zahlen zu handeln, wobei nacheinander zufällige
Schritte um 1 nach rechts oder links gemacht werden.
Ω = [mm]\ \{-1,1\}^N[/mm]
ich schreibe lieber:
Ω = [mm]\ \{L,R\}^N[/mm] L=-1 für "Links" R=+1 für "Rechts"
Ω ist die Menge der Elementarereignisse; jedes solche
ist also eine komplette Irrfahrt mit N Schritten. Die Anzahl
der Elementarereignisse ist | Ω [mm] |=2^N
[/mm]
Beispiel mit N=3:
Ω = [mm] \{LLL,LLR,LRL,LRR,RLL,RLR,RRL,RRR\}
[/mm]
Was genau soll nun [mm] F_2 [/mm] sein ?
Ein Ereignis ist definitionsgemäss eine Teilmenge von Ω .
Bis zum Zeitpunkt k=2 kann man aber gar keine vollständigen
Irrfahrten beobachten. Es ist also möglicherweise gemeint:
[mm] F_2=\{\{LLL,LLR\},\{LRL,LRR\},\{RLL,RLR\},\{RRL,RRR\}\}
[/mm]
Nun probieren wir einmal für diesen Fall die Frage b) durchzu-
spielen:
> Zeige, dass fuer A,B [mm]\in F_n[/mm] gilt:
>
> A [mm]\cap[/mm] B [mm]\in F_n[/mm] , A [mm]\cup[/mm] B [mm]\in F_n[/mm] und [mm]A^c \in F_n[/mm]
Nehmen wir also $\ n=2$ und z.B [mm] A=\{LLL,LLR\} [/mm] und [mm] B=\{LRL,LRR\}
[/mm]
Dann ist
1.) [mm] A\cap{B}=\emptyset \not\in F_2
[/mm]
2.) [mm] A\cup{B}=\{LLL,LLR,LRL,LRR\} \not\in F_2
[/mm]
3.) [mm] A^c=\{LRL,LRR,RLL,RLR,RRL,RRR\} \not\in F_2
[/mm]
also alles falsch !
Es muss mit [mm] F_k [/mm] also etwas anderes gemeint sein als nach
dieser Interpretation.
aber was ???
Al-Chwarizmi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:54 Fr 07.11.2008 | | Autor: | xxxx |
Hey,
also in der Aufgabenstellung wurde gesagt, dass [mm] F_k [/mm] , k [mm] \in [/mm] {0,1,2,...N}
genauso definiert werden soll wie in der Vorlesung und dort hatten wir halt aufgeschrieben:
Ein Ereigniss A [mm] \subset [/mm] Ω heisst beobachtbar bis zum Zeitpunkt n, wenn A = {w: [mm] (X_1(w), X_2(w), [/mm] ..... , [mm] X_n(w)) \in A_n}, [/mm] wobei [mm] A_n \subset {-1,1}^n [/mm] . Wir definieren [mm] F_n [/mm] als die Menge aller bis zum Zeitpunkt n beobachtbaren Ereignisse.
Also das haben wir so in der VL gesagt...
xxxx
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> Hey,
> also in der Aufgabenstellung wurde gesagt, dass [mm] F_k [/mm] , k [mm] \in \{0,1,2,...N\}
[/mm]
> genauso definiert werden soll wie in der Vorlesung und
> dort hatten wir aufgeschrieben:
>
> Ein Ereignis A [mm]\subset[/mm] Ω heisst beobachtbar bis zum
> Zeitpunkt n, wenn A = [mm] \{w: (X_1(w), X_2(w), ..... , X_n(w)) \in A_n\} [/mm] ,
> wobei [mm]A_n \subset \{-1,1\}^n[/mm] . Wir definieren [mm]F_n[/mm] als die
> Menge aller bis zum Zeitpunkt n beobachtbaren Ereignisse.
>
> Also das haben wir so in der VL gesagt...
Was genau soll denn hier [mm] X_i(w) [/mm] bedeuten ???
So wie ich dies hier lese, müsste entweder [mm] F_n= [/mm] Ω sein
oder meine frühere Interpretation zutreffen, welche aber nicht
zu den Folgerungen führt, wie sie in Aufgabe b) gezeigt werden
sollen.
Sind irgendwo die Symbole [mm] \in [/mm] und [mm] \subset [/mm] verwechselt worden ?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:46 Sa 08.11.2008 | | Autor: | xxxx |
also verwechselt habe ich nichts.... habe nochmal alles ueberprueft... die [mm] X_i(w) [/mm] sind die Zufallsvariablen....
xxxx
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:08 Sa 08.11.2008 | | Autor: | xxxx |
Also mir ist noch ein Gedanke gekommen... und zwar bezeichnet man ja mit [mm] F_k [/mm] unter anderem auch die Potenzmenge, das sind ja im Prinzip alle beobachtbaren Ereignisse bit zum Zeitpunkt k und das wäre hier ja dann:
[mm] F_2 [/mm] = { [mm] \emptyset, [/mm] {-1,1}, {(-1)(1), (-1)(-1)}, {(1)(-1),(1)(1)} }
Weil dies wären ja dann alle Punkte, wo man am Zeitpunkt 2 landen könnte oder...
lg xxxx
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:20 Sa 08.11.2008 | | Autor: | SpoOny |
> Also mir ist noch ein Gedanke gekommen... und zwar
> bezeichnet man ja mit [mm]F_k[/mm] unter anderem auch
> die Potenzmenge, das sind ja im Prinzip alle >beobachtbaren Ereignisse
sitze auch gerade an der Aufgabe.
Laut Vorlesung ist [mm] F_{k} [/mm] die Menge aller bis zum Zeitpunkt k beobachtbaren Ereignisse also ähnlich wie du schon geschrieben hast:
[mm] F_{2}= [/mm] { [mm] \emptyset, [/mm] (-1,-1,x), (-1,1,x), (1,-1,x), (1,1,x) | x [mm] \in [/mm] {-1,1}}
x kommt dazu da wir N=3 haben, und [mm] F_{2} \subset F_{3}=F_{N}
[/mm]
wäre N=5 müsstest [mm] x_{1},x_{2},x_{3} [/mm] schreiben.
Ob das so mathematisch korrekt aufgeschrieben ist weiß ich allerdings nicht.
b)
hier sind A und B [mm] \in F_{n} [/mm] und es gilt
noch [mm] F_{1}\subset F_{2} \subset [/mm] .... [mm] \subset F_{N} [/mm] =F
Was man sich jetzt überlegen muss ist
Wie sieht A [mm] \cup [/mm] B aus? Und warum ist dieses Ereignis auch beobachtbar?
[mm] A^{c} [/mm] ist beobachtbar aufgrund der symmetrie
(Siehe Skript Seite 12)
hoffe das war der letzte Fehler von mir mit den 4 Bearbeitungen ^^
LG
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> > Also mir ist noch ein Gedanke gekommen... und zwar
> > bezeichnet man ja mit [mm]F_k[/mm] unter anderem auch
> > die Potenzmenge, das sind ja im Prinzip alle >beobachtbaren
> Ereignisse
>
> sitze auch gerade an der Aufgabe.
> Laut Vorlesung ist [mm]F_{k}[/mm] die Menge aller bis zum Zeitpunkt
> k beobachtbaren Ereignisse also ähnlich wie du schon
> geschrieben hast:
>
> [mm]F_{2}=\{\emptyset,\ (-1,-1,x), (-1,1,x), (1,-1,x), (1,1,x) | x \in \{-1,1\}\} [/mm]
>
> x kommt dazu da wir N=3 haben, und [mm]F_{2} \subset F_{3}=F_{N}[/mm]
>
> wäre N=5 müsstest [mm]x_{1},x_{2},x_{3}[/mm] schreiben.
> Ob das so mathematisch korrekt aufgeschrieben ist weiß ich
> allerdings nicht.
>
>
> b)
>
> hier sind A und B [mm]\in F_{n}[/mm] und es gilt
>
> noch [mm]F_{1}\subset F_{2} \subset[/mm] .... [mm]\subset F_{N}[/mm] =F
>
> Was man sich jetzt überlegen muss ist
>
> Wie sieht A [mm]\cup[/mm] B aus? Und warum ist dieses Ereignis auch
> beobachtbar?
>
>
> [mm]A^{c}[/mm] ist beobachtbar aufgrund der symmetrie
> (Siehe Skript Seite 12)
>
>
> hoffe das war der letzte Fehler von mir mit den 4
> Bearbeitungen ^^
>
> LG
Ich hatte auch noch so eine Idee in dieser Richtung.
Allerdings wäre meine Menge [mm] F_2 [/mm] etwas reichhaltiger, nämlich:
[mm] F_2=\{\emptyset,\{LXY\},\{RXY\},\{XLY\},\{XRY\},\{LLX\},\{LRX\},\{RLX\},\{RRX\},\{XYZ\}\ |\ X,Y,Z\in \{L,R\}\}
[/mm]
Dabei steht zum Beispiel [mm] \{XRY\} [/mm] für die Menge aller Tripel [mm] (x_1,x_2,x_3)\in \{-1,1\}^3 [/mm] mit [mm] x_2=R=+1
[/mm]
Natürlich ist dann auch [mm] \{XYZ\}=\Omega
[/mm]
Allerdings sehe ich noch nicht genau, wie man damit
die Behauptungen, die in der Aufgabe angegeben sind,
beweisen kann.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:40 So 09.11.2008 | | Autor: | SpoOny |
> Ich hatte auch noch so eine Idee in dieser Richtung.
> Allerdings wäre meine Menge [mm]F_2[/mm] etwas reichhaltiger,
> nämlich:
>
> [mm]F_2=\{\emptyset,\{LXY\},\{RXY\},\{XLY\},\{XRY\},\{LLX\},\{LRX\},\{RLX\},\{RRX\},\{XYZ\}\ |\ X,Y,Z\in \{L,R\}\}[/mm]
>
> Dabei steht zum Beispiel [mm]\{XRY\}[/mm] für die Menge aller Tripel
> [mm](x_1,x_2,x_3)\in \{-1,1\}^3[/mm] mit [mm]x_2=R=+1[/mm]
>
> Natürlich ist dann auch [mm]\{XYZ\}=\Omega[/mm]
>
> Allerdings sehe ich noch nicht genau, wie man damit
> die Behauptungen, die in der Aufgabe angegeben sind,
> beweisen kann.
zu a) ich denke das ist etwas zu reichhaltig.
{RXY} und {RRY} sind gleich wenn X=R
du hättest das Element also zweimal in deine Menge geschrieben
bis zur Periode 2 sind [mm] 2^{2} [/mm] Ereignisse beobachtbar.
also hast du {b,b,x}.
Erst ab der dritten Periode die hier auch die letzte ist finde ich eine
Variable daher sinnvoll.
b) Idee:
Sind nun A,B [mm] \in F_{n} [/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] A und B mindestens bis Periode n beobachtbar
[mm] \Rightarrow [/mm] A [mm] \cap [/mm] B mindestens bis Periode n beobachtbar
[mm] \Rightarrow [/mm] A [mm] \cap [/mm] B [mm] \in F_{n}
[/mm]
ob da Zwischenschritte reinmüssen oder das so ausreicht weiß ich nicht.
Mann könnte vielleicht auch Ereignisse/ Elemente aus A und B nehmen:
Ist x [mm] \in [/mm] A und x [mm] \in [/mm] B. Sind nun A,B [mm] \in F_{n} [/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] A und B mindestens bis Periode n beobachtbar
[mm] \Rightarrow [/mm] x ist beobachtbar
[mm] \Rightarrow [/mm] A [mm] \cap [/mm] B mindestens bis Periode n beobachtbar
[mm] \Rightarrow [/mm] A [mm] \cap [/mm] B [mm] \in F_{n}
[/mm]
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> zu a) ich denke das ist etwas zu reichhaltig.
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> {RXY} und {RRY} sind gleich wenn X=R
> du hättest das Element also zweimal in deine Menge
> geschrieben
>
> bis zur Periode 2 sind [mm]2^{2}[/mm] Ereignisse beobachtbar.
> also hast du {b,b,x}.
> Erst ab der dritten Periode die hier auch die letzte ist
> finde ich eine
> Variable daher sinnvoll.
hi Spoony
Wenn ich die ersten beiden Schritte betrachte, kann ich
doch immer noch vom Ereignis "der erste Schritt ging
nach rechts" sprechen, also
{RXY}={RRR,RRL,RLR,RLL}
( rechts die ausführliche Darstellung im dreidimensionalen [mm] \Omega [/mm] )
oder z.B. "der zweite Schritt ging nach links":
{XLY}={RLR,RLL,LLR,LLL}
Diese Ereignisse sind (mit k=2) beobachtbar, im Gegen-
satz etwa zu den Ereignissen {RRR}, {XYL}
Jetzt fällt mir gerade noch was ein: Könnte man nicht
auch von Ereignissen reden, die sich auf die beiden
Schritte zusammen beziehen, z.B.: "beide Schritte gingen
in dieselbe Richtung" , also
{X X Y}={RRR,RRL,LLR,LLL}
oder "sie gingen in umgekehrte Richtungen", also
{X -X Y}={RLR,RLL,LRR,LRL} ?
(sorry, wenn das die Sache noch komplizierter erscheinen
lässt - vielleicht ist das Ganze sowieso einfacher, als wir
denken)
LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:44 So 09.11.2008 | | Autor: | SpoOny |
ich verstehe was du meisnt. Allerdings sind es immer wieder die selben Elemente die wir aufschreiben nur anders ausgedrückt. Von daher mach ich es so einfach wie möglich ^^
LG
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> ich verstehe was du meinst. Allerdings sind es immer wieder
> die selben Elemente die wir aufschreiben nur anders
> ausgedrückt. Von daher mach ich es so einfach wie möglich
Du hast vorher geschrieben:
> {RXY} und {RRY} sind gleich wenn X=R
Dir ist aber doch auch klar, dass
[mm] \{RXY\}=\{RRR,RRL,RLR,RLL\}\not=\{RRY\}=\{RRR,RRL\} [/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:43 So 09.11.2008 | | Autor: | SpoOny |
> [mm]\{RXY\}=\{RRR,RRL,RLR,RLL\}\not=\{RRY\}=\{RRR,RRL\}[/mm]
Ja ich weiß. Allerdings kommt ja trotzdem irgendwie (RRL) mehrmals vor nämlich in RRY und RXY, XYZ. Und das die Ausdrücke verschieden von einander sind ist mir klar.
Wie gesagt, mann kann auch einfach alle 4 Ereignisse aufschreiben. Ich denke das reicht vollkommen aus
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 15:25 So 09.11.2008 | | Autor: | SpoOny |
So ganz einfach ist das mit b) wohl nicht.
Wenn ich A [mm] \in F_{n} [/mm] habe.
dann sind A und B ja aus: {1,-1} ^{N}
und bis Periode n beobachtbar, also eine feste Folge
bspw. { [mm] 1,1,-1,1,.....1,x_{n+1},...N [/mm] }
wie sieht denn jetzt ein Schnitt zweier solcher Mengen/Tupel aus.
Die Vereinigung von A und B wäre ja einfach ne Menge die beide N-Tupel enthält aber der Schnitt?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:32 Di 11.11.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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