Irreduzibles Polynom < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:01 Mo 11.04.2011 | | Autor: | xtraxtra |
| Aufgabe | | Ist [mm] X^3 [/mm] -2 irreduzibel in [mm] \IQ(\wurzel{2})[X]? [/mm] |
Habe mich gerade an dieser Aufgabe versucht, und wollte eignetlich nur gerne wissen ob man diese auf meine Weise lösen darf oder ob es falsch ist:
Ist [mm] X^3 [/mm] -2 in [mm] \IQ(\wurzel{2})[X] [/mm] reduzibel, so gibt es eine Nullstelle in [mm] \IQ(\wurzel{2})[X]: [/mm] Die einzige reele Nullstelle ist [mm] \wurzel[3]{2}, [/mm] was aber nicht in [mm] \IQ(\wurzel{2})[X] [/mm] liegt. => irreduziebel.
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Hallo xtraxtra,
> Ist [mm]X^3[/mm] -2 irreduzibel in [mm]\IQ(\wurzel{2})[X]?[/mm]
>
> Habe mich gerade an dieser Aufgabe versucht, und wollte
> eignetlich nur gerne wissen ob man diese auf meine Weise
> lösen darf oder ob es falsch ist:
>
> Ist [mm]X^3[/mm] -2 in [mm]\IQ(\wurzel{2})[X][/mm] reduzibel, so gibt es eine
> Nullstelle in [mm]\IQ(\wurzel{2})[X]:[/mm] Die einzige reele
> Nullstelle ist [mm]\wurzel[3]{2},[/mm]
Bis hierhin ok. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> was aber nicht in
> [mm]\IQ(\wurzel{2})[X][/mm] liegt.
Das stimmt zwar, aber Du solltest wenigstens skizzieren, warum das so ist. Und das könnte ein längerer Weg werden.
So ist [mm] \bruch{1964}{543}-\bruch{5}{3}\wurzel{2}für \wurzel[3]{2} [/mm] keine schlechte Näherung. Warum kann es keine exakte Darstellung geben?
=> irreduziebel.
Das "i" ist zwar lang, wird aber wegen seiner lateinischen Herkunft nicht als "ie" geschrieben, siehe Aufgabenstellung.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:28 Mo 11.04.2011 | | Autor: | xtraxtra |
Das heißt also, meine Antwort würde so nicht durchgehn, da ich erst noch zeigen müsste, dass [mm] \wurzel[3]{2} [/mm] nicht in [mm] \IQ(\wurzel{2}) [/mm] liegt.
Wie wäre denn dann ein Lösungsweg, der dieses Problem umgeht?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:53 Mo 11.04.2011 | | Autor: | statler |
Hi!
> Das heißt also, meine Antwort würde so nicht durchgehn,
> da ich erst noch zeigen müsste, dass [mm]\wurzel[3]{2}[/mm] nicht
> in [mm]\IQ(\wurzel{2})[/mm] liegt.
> Wie wäre denn dann ein Lösungsweg, der dieses Problem
> umgeht?
Ein beliebtes Beweismittel ist das Eisensteinsche Irreduzibilitätskriterium, kennst du es? Funktioniert es auch hier?
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:34 Mo 11.04.2011 | | Autor: | xtraxtra |
Ja, kenne ich, jedoch nur für Polynome.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:41 Mo 11.04.2011 | | Autor: | statler |
Ach, und was ist [mm] $X^3 [/mm] - 2?$ 
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:51 Mo 11.04.2011 | | Autor: | xtraxtra |
Sorry, war grad bissl neben mir ;)
Aber ist es nicht trotzdem so, dass das Eisensteinkritrium Aussagen über Polynome in [mm] \IQ[X] [/mm] macht? Ich habe ja [mm] \IQ(\wurzel{2})?
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:04 Mo 11.04.2011 | | Autor: | statler |
> Sorry, war grad bissl neben mir ;)
> Aber ist es nicht trotzdem so, dass das Eisensteinkritrium
> Aussagen über Polynome in [mm]\IQ[X][/mm] macht? Ich habe ja
> [mm]\IQ(\wurzel{2})?[/mm]
Das stimmt. Aber vielleicht kennst du auch noch den Gradsatz? Kannst du dir damit eine Argumentation zurechtlegen?
Gruß
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:05 Mo 11.04.2011 | | Autor: | xtraxtra |
Ich kenne den Gradsatz, weiß ich leider nicht wie ich ihn hier anwenden soll.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:31 Di 12.04.2011 | | Autor: | statler |
Guten Morgen,
naja, du hast jetzt 2 irreduzible Polynome über [mm] \IQ, [/mm] eins vom Grad 3 und das andere vom Grad 2. Wenn [mm] X^3 [/mm] - 2 über [mm] \IQ[\wurzel{2}] [/mm] reduzibel ist, hat es einen Linearfaktor, also eine Nullstelle [mm] \alpha [/mm] in [mm] \IQ[\wurzel{2}].\ \IQ[\alpha] [/mm] ist dann ein Unterkörper sowohl von [mm] \IQ[\wurzel{2}], [/mm] der Grad 2 über [mm] \IQ [/mm] hat, als auch von [mm] \IQ[\wurzel[3]{2}], [/mm] der Grad 3 über [mm] \IQ [/mm] hat. Das geht nur, wenn [mm] \alpha [/mm] in [mm] \IQ [/mm] selbst liegt. Und das wiederum heißt, daß [mm] X^3 [/mm] - 2 über [mm] \IQ [/mm] reduzibel ist. Widerspruch.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:43 Mi 13.04.2011 | | Autor: | xtraxtra |
Danke dir!
Das eine Polynom ist [mm] X^3-2 [/mm] aus der Angabe.
Was ist das zweite Polynom vom Grad 2? [mm] X^2-2 [/mm] ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:19 Mi 13.04.2011 | | Autor: | statler |
Hi!
> Danke dir!
> Das eine Polynom ist [mm]X^3-2[/mm] aus der Angabe.
> Was ist das zweite Polynom vom Grad 2? [mm]X^2-2[/mm] ?
Ja klar! [mm] \IQ[\wurzel{2}] [/mm] ist doch der Zerfällungskörper von [mm] $X^2 [/mm] - 2$.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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