Irreduzibles Polynom < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:25 Mo 02.04.2007 | | Autor: | Maja83 |
| Aufgabe | | Beweisen Sie oder widerlegen Sie: [mm] X^3-X+16 \in \IQ [/mm] [X] ist irreduzibel. |
Hallo Zusammen!
Ich kenne das Eisenstein und das Reduktionskriterium, wobei ich letzteres noch nicht so ganz verstanden habe. Aber bei diesem Polynom komme ich absolut nicht weiter.. Kann mir da vielleicht jemand einen Tipp geben?
Liebe Dank schon mal,
Maja
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:18 Di 03.04.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo Maja!
> Beweisen Sie oder widerlegen Sie: [mm]X^3-X+16 \in \IQ[/mm] [X] ist
> irreduzibel.
> Hallo Zusammen!
>
> Ich kenne das Eisenstein und das Reduktionskriterium, wobei
> ich letzteres noch nicht so ganz verstanden habe. Aber bei
> diesem Polynom komme ich absolut nicht weiter.. Kann mir da
> vielleicht jemand einen Tipp geben?
Hier kann man viel einfacher vorgehen:
- Da es ein Polynom von Grad 3 ist, reicht es zu zeigen, dass es keine Nullstelle in [mm] $\IQ$ [/mm] hat, damit es irreduzibel ist.
- Da es ganzzahlige Koeffizienten hat und normiert ist, muss jede Nullstelle aus [mm] $\IQ$ [/mm] bereits in [mm] $\IZ$ [/mm] liegen und den konstanten Term teilen (folgt im Prinzip aus der Primfaktorzerlegung in [mm] $\IZ$): [/mm] Die Nullstellen koennen also hoechstens [mm] $\pm [/mm] 1$, [mm] $\pm [/mm] 2$, [mm] $\pm [/mm] 4$ und [mm] $\pm [/mm] 16$ sein.
- Nachrechnen liefert, dass dies nicht der Fall sein kann. (Fuer $|x| [mm] \ge [/mm] 2$ wird das [mm] $x^3$ [/mm] zu gross um durch die anderen Summanden Richtung 0 gebracht zu werden, und fuer $|x| = 1$ sieht man sofort dass es nicht 0 werden kann.)
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:24 Di 03.04.2007 | | Autor: | Maja83 |
Hallo Felix!
Vielen Dank für deine Antwort.
Kann ich das wirklich so einfach machen? Gilt das als Beweis der Irreduzibilität?
Ich habe noch eine Frage zu deinem Lösungsvorschlag: Warum können die Nullstellen nur [mm] \pm1, \pm2, \pm4 [/mm] und [mm] \pm16 [/mm] sein? Weil diese f(X) teilen müssen und diese Zahlen die einzigen sind, die 16 teilen?
Danke für die Hilfe!
Maja
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:50 Di 03.04.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo Maja!
> Kann ich das wirklich so einfach machen? Gilt das als
> Beweis der Irreduzibilität?
Ja, das gilt. Wenn ein Polynom von Grad 2 oder 3 in einem Koerper $K$ keine Nullstellen hat (und die Koeffizienten im Koerper liegen), ist es ueber diesem immer irreduzibel. (Wenn es reduzibel waer, haette es mindestens einen Teiler von Grad 1, also eine Nullstelle.)
> Ich habe noch eine Frage zu deinem Lösungsvorschlag: Warum
> können die Nullstellen nur [mm]\pm1, \pm2, \pm4[/mm] und [mm]\pm16[/mm] sein?
> Weil diese f(X) teilen müssen und diese Zahlen die einzigen
> sind, die 16 teilen?
Genau. Wenn du naemlich $f = g [mm] \cdot [/mm] h$ schreibst mit zwei Polynomen $g, h [mm] \in \IQ[x]$, [/mm] so muss schon $g, h [mm] \in \IZ[x]$ [/mm] sein. Insbesondere gilt das, wenn [mm] $\deg [/mm] h = 1$ ist, also wenn $f = g [mm] \cdot [/mm] (x - [mm] \alpha)$ [/mm] ist fuer ein [mm] $\alpha \in \IQ$, [/mm] womit [mm] $\alpha \in \IZ$ [/mm] sein muss. Und der konstante Term von $f$ ist dann der konstante Term von $g$ multipliziert mit dem konstanten Term von $x - [mm] \alpha$, [/mm] also mit [mm] $\alpha$.
[/mm]
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:11 Di 03.04.2007 | | Autor: | Maja83 |
Hi Felix,
okay.. Eigentlich muss ich aber [mm] \pm1, \pm2, \pm4 [/mm] und [mm] \pm16 [/mm] als mögliche Nullstellen gar nicht angeben, oder? Ich kann ja zeigen, dass |x|=1 keine Nullstelle ist, indem ich da [mm] \pm [/mm] 1 einsetze und für [mm] |x|\ge2 [/mm] wirds nicht Null, da [mm] X^3 [/mm] immer größer wird. Reicht das aus?
Ich habe leider noch nicht so ganz verstanden, warum die Nullstellen auch in [mm] \IZ [/mm] liegen müssen..?
Wenn ich [mm] X^3-X+16 [/mm] = [mm] X(X^2-1)+16 [/mm] umschreibe und dann gleich 0 setze, erhalte ich die Nullstellen: [mm] x_{1}=-16, x_{2}=-\wurzel{-15} [/mm] und [mm] x_{3}=\wurzel{-15}. [/mm] Aber es gilt [mm] x_{2} [/mm] und [mm] x_{3} [/mm] sind nicht in [mm] \IQ, [/mm] also ist f(x) irred. in [mm] \IQ. [/mm] Ist das so auch richtig?
Mmh.. das ist eine Klausuraufgabe, deshalb erscheint mir das alles als zu einfach..
Danke und Grüße,
Else
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:26 Di 03.04.2007 | | Autor: | M.Rex |
Hallo Maja
> Hi Felix,
>
> okay.. Eigentlich muss ich aber [mm]\pm1, \pm2, \pm4[/mm] und [mm]\pm16[/mm]
> als mögliche Nullstellen gar nicht angeben, oder? Ich kann
> ja zeigen, dass |x|=1 keine Nullstelle ist, indem ich da
> [mm]\pm[/mm] 1 einsetze und für [mm]|x|\ge2[/mm] wirds nicht Null, da [mm]X^3[/mm]
> immer größer wird. Reicht das aus?
Yep, das reicht aus.
>
> Ich habe leider noch nicht so ganz verstanden, warum die
> Nullstellen auch in [mm]\IZ[/mm] liegen müssen..?
>
> Wenn ich [mm]X^3-X+16[/mm] = [mm]X(X^2-1)+16[/mm] umschreibe und dann gleich
> 0 setze, erhalte ich die Nullstellen: [mm]x_{1}=-16, x_{2}=-\wurzel{-15}[/mm]
> und [mm]x_{3}=\wurzel{-15}.[/mm] Aber es gilt [mm]x_{2}[/mm] und [mm]x_{3}[/mm] sind
> nicht in [mm]\IQ,[/mm] also ist f(x) irred. in [mm]\IQ.[/mm] Ist das so auch
> richtig?
>
Wie kommst du darauf?
[mm] -16(256-1)+16\ne0
[/mm]
Der Trick mit den Ausklammern funktioniert nur, wenn das Produkt am Ende Null werden soll.
Also hier
x(x²-1)+16=0
[mm] \gdw [/mm] x(x²-1)=-16
[mm] \not\Rightarrow x_{1}=-16 \vee [/mm] x²-1=-16
> Mmh.. das ist eine Klausuraufgabe, deshalb erscheint mir
> das alles als zu einfach..
>
> Danke und Grüße,
> Else
Marius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:34 Di 03.04.2007 | | Autor: | Maja83 |
Okay, das hatte ich grad irgendwie vergessen.
Dann ist alles klar,
lieben Dank und lieben Gruß,
Maja
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