Inzidenzaxiome < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Zeigen Sie, dass das Modell [mm] \IR=\{(x,y)|x,y\in\IR} [/mm] und [mm] g={(x,y)|ax+by+c=0,a^{2}+b^{2}\not=0} [/mm] für den [mm] \IR^{2} [/mm] alle Inzidenzaxiome erfüllt. |
Die Inzidenzaxiome sind:
I1: Durch 2 verschiedene Punkte geht stets genau eine Gerade.
I2: Eine Gerade enthält mindestens 2 Punkte.
I3: Es gibt drei Punkte, die nicht auf einer gemeinsamen Gerade liegen.
Ich hab die Idee über die Herleitung für eine Zweipunktegleichung heranzugehen.
Ist dies richtig? Oder kann mir jemand einen anderen Hinweis geben?
Vielen Dank im Voraus!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:00 Do 16.04.2015 | | Autor: | hippias |
Das ist in Ordnung. Wenn Du unsicher bist, dann zeige was Du hast, sodass man Dir weiterhelfen kann.
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Also meine Lösung sieht so aus:
[mm] P_{1} (x_{1},y_{1}) [/mm] und [mm] P_{2} (x_{2},y_{2}) [/mm] mit [mm] P_{1} \not= P_{2}
[/mm]
Zweipunktegleichung: [mm] y-y_{1}=\bruch{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}(x-x_{1}); m=\bruch{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}} \Rightarrow y-y_{1}=m(x-x_{1}) \Rightarrow y=m(x-x_{1})+y_{1}
[/mm]
I1 erfüllt, denn durch [mm] P_{1} [/mm] und [mm] P_{2} [/mm] verläuft g
I2 erfüllt, da g durch die Zweipunktegleichung durch mindestens zwei Punkte bestimmt ist und weitere Punkte durch Einsetzen in die Geradengleichung eine wahre Aussage ergeben können
I3 erfüllt, falls [mm] P_{3} (x_{3},y_{3}) [/mm] nicht auf g liegt [mm] \Rightarrow y_{3}\not=m(x_{3}-x_{1})+y_{1}
[/mm]
Hab ich damit gezeigt, dass die Inzidenzaxiome für den [mm] \IR^{2} [/mm] erfüllt sind?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:21 Do 16.04.2015 | | Autor: | hippias |
Gut, aber noch verbesserungswuerdig.
> Also meine Lösung sieht so aus:
>
> [mm]P_{1} (x_{1},y_{1})[/mm] und [mm]P_{2} (x_{2},y_{2})[/mm] mit [mm]P_{1} \not= P_{2}[/mm]
>
> Zweipunktegleichung:
> [mm]y-y_{1}=\bruch{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}(x-x_{1}); m=\bruch{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}} \Rightarrow y-y_{1}=m(x-x_{1}) \Rightarrow y=m(x-x_{1})+y_{1}[/mm]
>
> I1 erfüllt, denn durch [mm]P_{1}[/mm] und [mm]P_{2}[/mm] verläuft g
Wie lautet denn die Gerade durch die Punkte [mm] $P_{1}(1,1)$ [/mm] und [mm] $P_{2}(1,2)$? [/mm] Muss die Gerade nicht auch eindeutig bestimmt sein? Ist sie es? Wenn ja, warum?
> I2 erfüllt, da g durch die Zweipunktegleichung durch
> mindestens zwei Punkte bestimmt ist und weitere Punkte
> durch Einsetzen in die Geradengleichung eine wahre Aussage
> ergeben können
Da ist mir zu vage. Sei $g$ eine Gerade in der Form wie in der Aufgabenstellung angegeben. Weshalb liegen mindestens $3$ verschiedene Punkte auf $g$? Wenn also [mm] $a,b,c\in \IR$, [/mm] $a,b$ nicht beide $=0$, und [mm] $g=\{(x,y)\in\IR^{2}|ax+by=c\}$, [/mm] wieso gibt es dann $(r,s), [mm] (t,u),(v,w)\in [/mm] g$, die paarweise verschieden sind? Um zu zeigen, dass [mm] $g\neq \emptyset$ [/mm] ist, koennte ich etwa so argumentieren: Sei z.B. [mm] $b\neq [/mm] 0$. Dann ist $c= [mm] bb^{-1}c$, [/mm] also [mm] $(0,b^{-1}c)\in [/mm] g$.
> I3 erfüllt, falls [mm]P_{3} (x_{3},y_{3})[/mm] nicht auf g liegt
> [mm]\Rightarrow y_{3}\not=m(x_{3}-x_{1})+y_{1}[/mm]
>
Du musst $3$ konkrete Punkte angeben, die nicht auf einer Geraden der angegeben Gestalt liegen. Z.B. $A(0,0)$, $B(1,0)$ ...
>
> Hab ich damit gezeigt, dass die Inzidenzaxiome für den
> [mm]\IR^{2}[/mm] erfüllt sind?
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