Invertierbarkeit von Mod Zahl < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:13 Fr 21.03.2014 | | Autor: | DieNase |
| Aufgabe | | Man zeige: Wenn ein Element [x]m Elemnt der Ganzen Zahlen (m) ist, dann gibt es ein Element [y]m so das [y]m != 0 und [x]m * [y]m = [0]m |
Meine Lsung sieht so aus:
ggT(x,m) = t
a*Xm + b *m = t
Dann ist t <= m. und t teilt m. Somit existiert ein n Element der Natürlichen Zahlen das gilt t * n = m
auf meine Gleichung angewandt:
a*n*Xm + b*m*n = t*n
Die Gleichung wird nun mod m betrachtet:
a*n * Xm + 0 = 0
a kann eine Zahl der Ganzen Zahlen sein je nachdem was bei Eukalidischen Algorithmus herauskommt. n ist eine Natürliche Zahle (ohne Null hier die Natürlichen Zahlen)
Somit ist a*n = Ym Und damit ist gezeigt das wenn eine Zahl Xm nicht teilerfremd und somit auch nicht invertierbar ist gibt es eine Zahl Ym aus den Ganzen Zahlen von m so das die Gleichung erfüllt ist.
Ich hab mir das mal so zusammengeschustert als annahme das eine Zahl invertierbar ist hab ich gesagt der ggT(Xm,m) = 1. Wenn dem nicht so ist kann es invertierbar sein muss aber nicht! Daher hab ich jetzt einfach mal angenommen das jede Zahl die nicht teilerfremd mit m ist diese Bedingung erfüllt. Damit erfüllt diese Gleichung jede zahl wo nicht bekannt ist ob es eine inverse gibt oder nicht.
mfg
Christoph
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> Man zeige: Wenn ein Element [x]m Elemnt der Ganzen Zahlen
> (m) ist, dann gibt es ein Element [y]m so das [y]m != 0
> und [x]m * [y]m = [0]m
Hallo,
zunächst einmal ist die Aufgabenstellung so, wie Du sie postest, für mich nahezu unverständlich.
Was meinst Du mit
> Elemnt der Ganzen Zahlen (m) ?
Geht es um Restklassen modulo m?
Um die Menge [mm] \IZ/m\IZ?
[/mm]
Was meinst Du mit [mm] [y]m\not=0?
[/mm]
Meinst Du [mm] [y]_m\not=[0]_m?
[/mm]
Falls das so gemeint ist, stimmt die Aussage doch nicht:
nehmen wir m=3, x=2.
Du behauptest, daß es ein y gibt mit [mm] [y]_3\not=[0]_3, [/mm] so daß
[mm] [2]_3*[y]_3=[0]_3,
[/mm]
und das gibt es halt nicht.
Ich vermute, daß Du Voraussetzungen weggelassen hast.
Bevor wir einen Beweis anschauen, müßten wir erstmal die genaue Aufgabe kennen.
LG Angela
> Meine Lsung sieht so aus:
>
> ggT(x,m) = t
>
> a*Xm + b *m = t
>
> Dann ist t <= m. und t teilt m. Somit existiert ein n
> Element der Natürlichen Zahlen das gilt t * n = m
>
> auf meine Gleichung angewandt:
> a*n*Xm + b*m*n = t*n
>
> Die Gleichung wird nun mod m betrachtet:
> a*n * Xm + 0 = 0
>
> a kann eine Zahl der Ganzen Zahlen sein je nachdem was bei
> Eukalidischen Algorithmus herauskommt. n ist eine
> Natürliche Zahle (ohne Null hier die Natürlichen Zahlen)
>
> Somit ist a*n = Ym Und damit ist gezeigt das wenn eine Zahl
> Xm nicht teilerfremd und somit auch nicht invertierbar ist
> gibt es eine Zahl Ym aus den Ganzen Zahlen von m so das die
> Gleichung erfüllt ist.
>
> Ich hab mir das mal so zusammengeschustert als annahme das
> eine Zahl invertierbar ist hab ich gesagt der ggT(Xm,m) =
> 1. Wenn dem nicht so ist kann es invertierbar sein muss
> aber nicht! Daher hab ich jetzt einfach mal angenommen das
> jede Zahl die nicht teilerfremd mit m ist diese Bedingung
> erfüllt. Damit erfüllt diese Gleichung jede zahl wo nicht
> bekannt ist ob es eine inverse gibt oder nicht.
>
> mfg
> Christoph
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:39 Sa 22.03.2014 | | Autor: | DieNase |
| Aufgabe | | Man zeige: Wenn ein Element [mm] [x]_{m} \in \IZ_{m} [/mm] nicht invertierbar ist, dann gibt es ein Element [mm] [y]_{m} \in \IZ_{m} [/mm] mit [mm] [y]_{m} \not= [/mm] 0 und [mm] [x]_{m} [/mm] * [mm] [y]_{m} [/mm] = [mm] [0]_{m}. [/mm] |
Ich war gestern wohl echt schon zu müde und hätte es nicht reinposten sollen.
Daher wiederhole ich mal alles ^^
Meine Lösung sieht so aus:
ggT(x,m) = t
Durch den Eukalidischen Algorithmus komm ich auf diese Gleichung:
[mm] a*[X]_{m} [/mm] + b *m = t
Dann ist t <= m. und m|t.
Somit existiert ein n [mm] \in \IN [/mm] das gilt t * n = m
auf meine Gleichung angewandt:
[mm] a*n*[X]_{m} [/mm] + b*m*n = t*n
Die Gleichung wird nun mod m betrachtet:
a*n * [mm] [X]_{m} [/mm] + 0 = 0
Somit ist a * n = [mm] [y]_{m}.
[/mm]
Aussagen die ich jetzt treffen kann über a und n.
n ist eine Natürliche Zahl die nie 0 wird da wenn t m teilt. Dann muss n mindestens 1 sein.
a ist ein ergebnis aus dem eukalidischen Algorithmus und somit eine Ganze Zahl. Soweit ich das verstanden habe ist hier möglich das es 0 sein kann. Wenn ich jetzt z.b. 12 mod 6 betrachte was aber halt bedingt ungut ist weil das einschließt das 12 schon 0 mod 6 wäre.
Mein Ansatz um die Menge richtig einzuschätzen war folgender:
Damit eine zahl [mm] [X]_{m} [/mm] modulo m invertierbar ist. muss sie teilerfremd sein. Daher der ansatz das der [mm] ggT([X]_{m},m) \not= [/mm] 0.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:06 Sa 22.03.2014 | | Autor: | hippias |
> Man zeige: Wenn ein Element [mm][x]_{m} \in \IZ_{m}[/mm] nicht
> invertierbar ist, dann gibt es ein Element [mm][y]_{m} \in \IZ_{m}[/mm]
> mit [mm][y]_{m} \not=[/mm] 0 und [mm][x]_{m}[/mm] * [mm][y]_{m}[/mm] = [mm][0]_{m}.[/mm]
> Ich war gestern wohl echt schon zu müde und hätte es
> nicht reinposten sollen.
>
> Daher wiederhole ich mal alles ^^
>
> Meine Lösung sieht so aus:
>
> ggT(x,m) = t
>
> Durch den Eukalidischen Algorithmus komm ich auf diese
> Gleichung:
>
> [mm]a*[X]_{m}[/mm] + b *m = t
Das mach' nicht! Restklassen und ganze Zahlen koennen nicht - hier sinnvoll - addiert werden. Also $a*x + b *m = t$, wobei ich annehme, dass Du $x$ und nicht $X$ meinst.
>
> Dann ist t <= m. und m|t.
Andersherum: [mm] $t\vert [/mm] m$.
> Somit existiert ein n [mm]\in \IN[/mm] das gilt t * n = m
Was weisst Du ueber $t$, wenn $x$ und $m$ nicht teilerfremd sind? Was ueber $n$?
>
> auf meine Gleichung angewandt:
> [mm]a*n*[X]_{m}[/mm] + b*m*n = t*n
>
> Die Gleichung wird nun mod m betrachtet:
> a*n * [mm][X]_{m}[/mm] + 0 = 0
>
> Somit ist a * n = [mm][y]_{m}.[/mm]
>
Vergiss das die Gleichung mit dem $a$. Mach Dir klar, dass bereits $nx$ durch $m$ teilbar ist, und dass [mm] $[n]_{m}\neq [/mm] 0$ ist.
> Aussagen die ich jetzt treffen kann über a und n.
>
> n ist eine Natürliche Zahl die nie 0 wird da wenn t m
> teilt.
Verstehe ich nicht.
> Dann muss n mindestens 1 sein.
> a ist ein ergebnis aus dem eukalidischen Algorithmus und
> somit eine Ganze Zahl. Soweit ich das verstanden habe ist
> hier möglich das es 0 sein kann. Wenn ich jetzt z.b. 12
> mod 6 betrachte was aber halt bedingt ungut ist weil das
> einschließt das 12 schon 0 mod 6 wäre.
Mal abgesehen vom Ausdruck: was soll dann dieses Beispiel?
>
> Mein Ansatz um die Menge richtig einzuschätzen war
> folgender:
> Damit eine zahl [mm][X]_{m}[/mm] modulo m invertierbar ist. muss
> sie teilerfremd sein. Daher der ansatz das der
> [mm]ggT([X]_{m},m) \not=[/mm] 0.
Verstehe ich nicht.
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