Invertierbarkeit von Matrizen < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:29 Do 08.11.2007 | | Autor: | SusanneK |
| Aufgabe | Sei [mm] A=\pmat{ 1 & 0 & -1 \\ 4 & 1 & 6 \\ 1 & 0 & 2 }[/mm] , [mm] B=\pmat{ 2 & 3 & 1 \\ 4 & 2 & 0 \\ 2 & 2 & 0 }[/mm] , [mm] C=\pmat{ 2 & 1 & 1 \\ 1 & 3 & 2 \\ 0 & 0 & 1 }[/mm]
Jetzt muss ich zu 10 Behauptungen angeben, ob sie wahr oder falsch sind.
Z.B.
1) Wenn [mm] A,B,C \in M_{33}(\IR) [/mm], so sind A,B,C invertierbar
2) Wenn [mm] A,B,C \in M_{33}(\IR[T]) [/mm], so sind A,B,C invertierbar
3) Wenn [mm] A,B,C \in M_{33}(\IZ/26\IZ) [/mm], so sind A,B,C invertierbar
4) Wenn [mm] A,B,C \in M_{33}(\IZ/49\IZ) [/mm], so sind A,B,C invertierbar |
Hallo, ich habe folgenden Ansatz:
1) Ist wahr, ich kann alle 3 Matrizen in die Einheitsmatrix überführen und damit die inverse Matrix erzeugen.
2) Hier verstehe ich den Unterschied zu 1 nicht. Für die Invertierbarkeit macht es doch nichts aus, ob ich das in einem Polynomring mache - oder ?
3) + 4) Hier hätte ich bei beiden gedacht, dass sie falsch sind, aber bei der Überprüfung mit einem Matrizenrechner kam bei 4) invertierbar heraus.
Ich dachte, wenn ich eine Matrix nicht in die Einheitsmatrix überführen kann, ist sie nicht invertierbar - und hier liegt ja [mm] \IZ [/mm] zugrunde, und deshalb kann ich nicht mit Brüchen arbeiten.
Wo ist mein Denkfehler ?
Danke, Susanne.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:40 Sa 10.11.2007 | | Autor: | Sparqie |
Du hast Recht, dass man in [mm] \IZ [/mm] nicht mit Brüchen arbeiten kann, aber wir befinden uns hier in [mm] \IZ/n\IZ [/mm] . Das heisst, dass wir modulo rechnen, so ist zum Beispiel in [mm] \IZ/26\IZ [/mm] 13+14=1. Wenn du das beachtest, sollte es möglich sein, die Matrizen in die Einheitsmatrix zu überführen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:45 Sa 10.11.2007 | | Autor: | SusanneK |
Habs jetzt kapiert - Danke !
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