Invertierbarkeit Matrix < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:54 Mo 06.05.2013 | | Autor: | Arthaire |
| Aufgabe | Seien A, B [mm] \in \IR^{nxn}. [/mm] A invertierbar mit [mm] ||A^{-1}|| [/mm] ||B|| < 1 für eine induzierte Matrixnorm ||.||. Zeigen Sie, dass A + B invertierbar ist und die Ungleichung
[mm] ||(A+B)^{-1}|| \le \bruch{||A^{-1}||}{1-||A^{-1}|| ||B||} [/mm] erfüllt. |
Hallo,
ich habe diese Frage in keinem anderem Forum gestellt.
Mit fehlt hier der Ansatz und ich bin mir bei dem Beweis der Invertierbarkeit in Kombination mit der Norm auch nicht sicher, was ich wie umschrieben darf. Hat jemand einen Ansatz?
Dankeschön
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:23 Di 07.05.2013 | | Autor: | ullim |
Hi,
aus [mm] \parallel A^{-1}B\parallel<1 [/mm] folgt, die Reihe [mm] \summe_{n=0}^{\infty}\left(-A^{-1}B\right)^n [/mm] konvergiert und
[mm] \left(I+A^{-1}B\right)^{-1} [/mm] ex. Daraus folgt [mm] \left(A+B\right)^{-1} [/mm] ex.
Da [mm] \left(A+B\right)^{-1}=\summe_{n=0}^{\infty}\left(-A^{-1}B\right)^n*A^{-1} [/mm] gilt, folgt die Abschätzung aus den Formeln für die geometrische Reihe.
I ist dabei die Einheitsmatrix. Stichwort ist hier ![[]](/images/popup.gif) Neumannsche Reihe
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