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Forum "Lineare Algebra - Matrizen" - Invertierbarkeit
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Invertierbarkeit: Tipp
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 22:05 Mo 25.07.2011
Autor: Semimathematiker

Aufgabe
Bestimmen Sie alle Werte von c [mm] \in \IR, [/mm] für welche die Matrix

A = [mm] \pmat{ 1 & 1 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & c} [/mm]

invertierbar ist und bestimmen Sie wenn möglich die Inverse.

Hallo zusammen,
ich hab da so ein kleines Problem mit der Invertierbarkeit dieser Matrize.

A inv´bar g.d.w det(A) [mm] \not= [/mm] 0

Also: Zeile 4 + Zeile 2, dann Zeile 2 + Zeile 1 und Zeile 4 - Zeile 3 ergibt die obere Dreiecksmatrix. Daraus lese ich ab: det(A) = (c - 1) :det(A) [mm] \not= [/mm] 0 für c [mm] \not= [/mm] 1

[mm] \Rightarrow A^{-1} [/mm] existiert für ein c [mm] \in \IR \{0} [/mm] .

Richtig soweit?

Wenn ich nun aber die [mm] A^{-1} [/mm] errechnen will, dann schreibe ich:

[mm] A^{-1} [/mm] = [mm] \bruch{1}{det(A)} [/mm] * A  g.d.w. [mm] A^{-1} [/mm] = [mm] \bruch{1}{det(A)} [/mm] *  [mm] \pmat{ 1 & 1 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & c} [/mm] = [mm] \pmat{ \bruch{1}{det(A)}& \bruch{1}{det(A)}& \bruch{1}{det(A)}& 0 \\ -\bruch{1}{det(A)}& 0 & \bruch{1}{det(A)} & -\bruch{1}{det(A)} \\ 0 & 0 & \bruch{1}{det(A)} & 0 \\ \bruch{1}{det(A)} & 0 & 0 & \bruch{c}{det(A)}} [/mm]

oder:

[mm] \pmat{ 1 & 1 & 1 & 0 & I & 1 & 0 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 1 & -1 & I & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & I & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & c & I & 0 & 0 & 0 & 1} [/mm]

und pivotiere bis ich links die Einheitsmatrix und rechts die [mm] A^{-1} [/mm] habe. Allerdings funktioniert es nicht....jetzt frage ich mich, ob ich mich nur verrechne, oder ob ich oben schon eine falsche Argumentation habe.

Viele Grüße
Semi
        
Bezug
Invertierbarkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:58 Mo 25.07.2011
Autor: barsch

Hallo,

> A inv´bar g.d.w det(A) [mm]\not=[/mm] 0

stimmt.

> Also: Zeile 4 + Zeile 2, dann Zeile 2 + Zeile 1 und Zeile 4
> - Zeile 3 ergibt die obere Dreiecksmatrix. Daraus lese ich
> ab: det(A) = (c - 1) :det(A) [mm]\not=[/mm] 0 für c [mm]\not=[/mm] 1


Auf det(A)=c-1 kommt wolframalpha auch: []http://www.wolframalpha.com/input/?i=det%28{{1%2C1%2C1%2C0}%2C+{-1%2C0%2C1%2C-1}%2C+{0%2C0%2C1%2C0}%2C{1%2C0%2C0%2Cc}}%29

  
> [mm]\Rightarrow A^{-1}[/mm] existiert für ein c [mm]\in \IR \backslash\{0\}[/mm]

Das solltest du noch einmal überdenken. Det(A)=0 [mm] \gdw [/mm] c=1. Wieso willst du dann die 0 ausschließen?

> Wenn ich nun aber die [mm] A^{-1} [/mm] errechnen will, dann schreibe ich:

> [mm] A^{-1} [/mm] = [mm] \bruch{1}{det(A)} [/mm] * A  g.d.w. [mm] A^{-1} [/mm] = [mm] \bruch{1}{det(A)} [/mm] *  [mm] \pmat{ 1 & 1 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & c} [/mm] = [mm] \pmat{ \bruch{1}{det(A)}& \bruch{1}{det(A)}& \bruch{1}{det(A)}& 0 \\ -\bruch{1}{det(A)}& 0 & \bruch{1}{det(A)} & -\bruch{1}{det(A)} \\ 0 & 0 & \bruch{1}{det(A)} & 0 \\ \bruch{1}{det(A)} & 0 & 0 & \bruch{c}{det(A)}} [/mm]

Das ist so nicht korrekt. Siehe dazu noch einmal in dein Skript.

> [mm]\pmat{ 1 & 1 & 1 & 0 & I & 1 & 0 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 1 & -1 & I & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & I & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & c & I & 0 & 0 & 0 & 1}[/mm]
>  
> und pivotiere bis ich links die Einheitsmatrix und rechts
> die [mm]A^{-1}[/mm] habe. Allerdings funktioniert es nicht....jetzt
> frage ich mich, ob ich mich nur verrechne, oder ob ich oben
> schon eine falsche Argumentation habe.


Diese Vorgehensweise ist korrekt. Die würde ich dir auch empfehlen. Du hast dich sicher nur verrechnet. Die Inverse auf diese Weise zu berechnen, ist auch nicht gerade schön... Ich habe das eben selbst mal gemacht, deswegen hat meine Antwort auch so lange gedauert. Wenn du alles richtig machst, solltest du folgendes erhalten:

[]http://www.wolframalpha.com/input/?i=inverse+({{1%2C1%2C1%2C0}%2C+{-1%2C0%2C1%2C-1}%2C+{0%2C0%2C1%2C0}%2C{1%2C0%2C0%2Cc}})

Gruß
barsch

Bezug
                
Bezug
Invertierbarkeit: Deine Antwort
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:56 Di 26.07.2011
Autor: Semimathematiker

Vielen herzlichen Dank für deine Antwort. Vor allem, dass du auch noch den Link zu wolframalpha.de dazugetan hast. Jetzt habe ich bequem die möglichkeit schnell zu prüfen.

Allerdings werde ich schon schauen, dass ich nicht durch Zeilen-Spaltenumformung die Inverse berechnen muss. Da verrechne ich mich nur zu leicht. Da gibt´s sicher schnelleres :)
Mal schauen.

Danke nochmal
Semi
P.S. Warum ich gerade die 0 ausgeschlossen habe,...gute Frage :)
Bezug
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