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| Aufgabe | Bestimmen Sie explizit alle invertierbaren 2x2-Matrizen für den Körper [mm] K = \IZ / 2 \IZ [/mm] .
Begründen Sie die Vollständigkeit Ihrer Ergebnisliste. |
Moin,
die Entscheidung, ob eine Matrix nun invertierbar ist oder nicht, sollte ja nicht so schwer sein, dafür würde ich folgende Formel verwenden:
[mm]
A^{-1} = \begin{pmatrix}
a & b \\ c & d \\
\end{pmatrix}^{-1} =
\frac{1}{ad - bc} \begin{pmatrix}
d & -b \\ -c & a \\
\end{pmatrix}[/mm]
Und dann darf halt [mm] (ad - bc) [/mm] nicht 0 werden.
Alles andere sollte ja invertierbar sein?
Was mir jetzt eher zu schaffen macht, welche Matrizen muss man da untersuchen?
[mm] K = \IZ / 2 \IZ [/mm]müsste ja die Menge [mm]{0,1}[/mm] sein, also egal welche ganze Zahl modulo 2 ergibt ja entweder 0 oder 1.
Muss man nun alle Matrizen der Form:
[mm] \begin{pmatrix}
0 & 0 \\
0 & 0
\end{pmatrix}[/mm],[mm] \begin{pmatrix}
0 & 0 \\
0 & 1
\end{pmatrix}[/mm],[mm] \begin{pmatrix}
0 & 0 \\
1 & 0
\end{pmatrix}[/mm],[mm] \begin{pmatrix}
0 & 0 \\
1 & 1
\end{pmatrix}[/mm], ... ,[mm] \begin{pmatrix}
1 & 1 \\
1 & 1
\end{pmatrix}[/mm]
untersuchen?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo nitramGuk,
> Bestimmen Sie explizit alle invertierbaren 2x2-Matrizen für
> den Körper [mm]K = \IZ / 2 \IZ[/mm] .
> Begründen Sie die Vollständigkeit Ihrer Ergebnisliste.
> Moin,
> die Entscheidung, ob eine Matrix nun invertierbar ist oder
> nicht, sollte ja nicht so schwer sein, dafür würde ich
> folgende Formel verwenden:
> [mm]
A^{-1} = \begin{pmatrix}
a & b \\ c & d \\
\end{pmatrix}^{-1} =
\frac{1}{ad - bc} \begin{pmatrix}
d & -b \\ -c & a \\
\end{pmatrix}[/mm]
Wir sind hier in [mm]\IZ/2\IZ[/mm], da gibt es keine Division, sondern nur Inverse.
Deshalb schreibe lieber:
[mm]
A^{-1} = \begin{pmatrix}
a & b \\ c & d \\
\end{pmatrix}^{-1} =
\left(ad - bc\right)^{-1} \begin{pmatrix}
d & -b \\ -c & a \\
\end{pmatrix}[/mm]
>
> Und dann darf halt [mm](ad - bc)[/mm] nicht 0 werden.
>
> Alles andere sollte ja invertierbar sein?
>
> Was mir jetzt eher zu schaffen macht, welche Matrizen muss
> man da untersuchen?
> [mm]K = \IZ / 2 \IZ [/mm]müsste ja die Menge [mm]{0,1}[/mm] sein, also
> egal welche ganze Zahl modulo 2 ergibt ja entweder 0 oder
> 1.
>
> Muss man nun alle Matrizen der Form:
> [mm] \begin{pmatrix}
0 & 0 \\
0 & 0
\end{pmatrix}[/mm],[mm] \begin{pmatrix}
0 & 0 \\
0 & 1
\end{pmatrix}[/mm],[mm] \begin{pmatrix}
0 & 0 \\
1 & 0
\end{pmatrix}[/mm],[mm] \begin{pmatrix}
0 & 0 \\
1 & 1
\end{pmatrix}[/mm],
> ... ,[mm] \begin{pmatrix}
1 & 1 \\
1 & 1
\end{pmatrix}[/mm]
>
> untersuchen?
>
Hier brauchst Du nur Matrizen untersuchen, für die
ad-bc ein Inverses bezüglich K besitzt.
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruß
MathePower
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> Hallo nitramGuk,
>
> > Was mir jetzt eher zu schaffen macht, welche Matrizen muss
> > man da untersuchen?
> > [mm]K = \IZ / 2 \IZ [/mm]müsste ja die Menge [mm]{0,1}[/mm] sein, also
> > egal welche ganze Zahl modulo 2 ergibt ja entweder 0 oder
> > 1.
> >
> > Muss man nun alle Matrizen der Form: ...
> > untersuchen?
> >
>
> Hier brauchst Du nur Matrizen untersuchen, für die
> ad-bc ein Inverses bezüglich K besitzt.
>
Nuja, um das rauszufinden, muss ich mir die ohne Inverses doch zwangsläufig auch erst mal anschauen?
Dennoch weiß ich jetzt noch nicht, was ja der Kern meiner Frage war, ob das nun alle Matrizen in der von mir beschriebenen Form sind oder mehr/weniger/andere?
Vielen Dank für deine Antwort
>
> Gruß
> MathePower
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Hallo nitramGuk,
> > Hallo nitramGuk,
> >
> > > Was mir jetzt eher zu schaffen macht, welche Matrizen muss
> > > man da untersuchen?
> > > [mm]K = \IZ / 2 \IZ [/mm]müsste ja die Menge [mm]{0,1}[/mm] sein,
> also
> > > egal welche ganze Zahl modulo 2 ergibt ja entweder 0 oder
> > > 1.
> > >
> > > Muss man nun alle Matrizen der Form: ...
> > > untersuchen?
> > >
> >
> > Hier brauchst Du nur Matrizen untersuchen, für die
> > ad-bc ein Inverses bezüglich K besitzt.
> >
>
> Nuja, um das rauszufinden, muss ich mir die ohne Inverses
> doch zwangsläufig auch erst mal anschauen?
In K gibt es nur ein Element, das ein Inverses besitzt.
> Dennoch weiß ich jetzt noch nicht, was ja der Kern meiner
> Frage war, ob das nun alle Matrizen in der von mir
> beschriebenen Form sind oder mehr/weniger/andere?]
Nun ja, für jeden Eintrag der Matrix gibt es 2 Möglichkeiten.
Da die Matrix 4 Einträge hat, sind das [mm]2^{4}=16[/mm] Matrizen.
So wie Du angefangen hast, die Matrizen aufzuzählen, sind das alle.
> Vielen Dank für deine Antwort
> >
> > Gruß
> > MathePower
>
Gruß
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:08 Mi 28.01.2009 | | Autor: | nitramGuk |
Danke an MathePower für die schnelle und gute Hilfe!
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