Inverses eines Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Zeigen sie das [mm] K=(a+b\wurzel{5} [/mm] |a,b [mm] \in \IQ) [/mm] bzgl der gewöhnlichen Addition und Multiplikation ein Körper ist. |
Also mein Problem an der Aufgabe ist, dass ich für die Multiplikation zweier elemente kein Inverses finden kann, welches für alle a's und b's definiert ist.
Es gilt ja:
[mm] (a_{1}+b_{1}\wurzel{5})*(x+y\wurzel{5})=1
[/mm]
Dann multipliziere ich das aus und stelle dann nach x und y um. Und da erhalte ich immer einen Bruch( [mm] x=\bruch{1}{a+\wurzel{5}b}- \wurzel{5}y, [/mm] der ja für a, b element Q nicht immer definiert ist. somit ist das dann ja kein Körper. Fasse ich nur falsch zusammen geht das noch anders?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:26 Di 07.11.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo blascowitz
> Zeigen sie das [mm]K=(a+b\wurzel{5}[/mm] |a,b [mm]\in \IQ)[/mm] bzgl der
> gewöhnlichen Addition und Multiplikation ein Körper ist.
> Also mein Problem an der Aufgabe ist, dass ich für die
> Multiplikation zweier elemente kein Inverses finden kann,
> welches für alle a's und b's definiert ist.
>
> Es gilt ja:
>
> [mm](a_{1}+b_{1}\wurzel{5})*(x+y\wurzel{5})=1[/mm]
>
> Dann multipliziere ich das aus und stelle dann nach x und y
> um. Und da erhalte ich immer einen Bruch
> [mm]x=\bruch{1}{a+\wurzel{5}*b}- \wurzel{5}*y[/mm] der ja für a, b
> element Q nicht immer definiert ist. somit ist das dann ja
> kein Körper. Fasse ich nur falsch zusammen geht das noch
> anders?
Wenn du den Bruch mit [mm] a-\wurzel{5}b [/mm] erweiterst siehst du, ob er dazu gehört! Wenn du gleich am Anfang [mm] (a+\wurzel{5}*b)*(a-\wurzel{5}*b) [/mm] bildest gehts auch noch schneller das Inverse zu finden.
Gruss leduart
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Warum darf ich den am Anfang gleich mit [mm] a-\wurzel{5}b [/mm] multiplizieren. dann kommt ja [mm] a^2 [/mm] + 5b raus und dass ist dann ja definiert. ist das dann das INverse zu der Aussage
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:05 Di 07.11.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo
> Warum darf ich den am Anfang gleich mit [mm]a-\wurzel{5}b[/mm]
> multiplizieren. dann kommt ja [mm]a^2[/mm] + 5b raus und dass ist
> dann ja definiert. ist das dann das INverse zu der Aussage
Nicht so , du musst ja ne 1 erzeugen! es kommt auch [mm] a^2+5b^2 [/mm] raus! und da du dazu ja das Inverse kennst, nämlich [mm] 1/(a^2+5b^2 [/mm] ) ist das Inverse dann insgesamt [mm] (a-b*\wurzel{5})/(a^2+5b^2 [/mm] )!
Ich find, das hättest du selbst sehen können!
Gruss [mm] leduarta^2+5b^2 [/mm]
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