Inverses einer komplexen Zahl < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:53 So 13.01.2008 | | Autor: | Bastiane |
Hallo zusammen!
Habe nur eine kurze simple Frage, und zwar sollten wir Anfang des Semesters (ne, keine Ersti-Vorlesung mehr...  ) mal ein paar komplexe Zahlen in ein KOS eintragen. U. a. die Summe und Differenz von zwei komplexen Zahlen und auch das Inverse. Man kann sich natürlich das Inverse einfach ausrechnen und dann einzeichnen, aber wir hatten es irgendwie einfacher gemacht und das wollte ich jetzt mal nachvollziehen. Habe mir überlegt, dass man das wohl über die Polarkoordinaten macht, es stimmt doch, dass das Inverse von [mm] z=re^{i\varphi} \;\;z^{-1}=\frac{1}{r}e^{-i\varphi} [/mm] ist, oder? Das hieße dann, dass ich, wenn ich z gezeichnet habe, einfach die Länge des Vektors invertieren muss und den Winkel von des x-Achse aus gesehen in die andere Richtung laufe, oder?
Und bei den anderen Sachen: das komplex Konjugierte ist die Spiegelung an der x-Achse, eine Spiegelung an x und y-Achse wäre doch das additiv Inverse, und was gibt es sonst noch, was man da einzeichnen könnte? Kann es sein, dass wir auch noch das Produkt recht einfach eingezeichnet haben, das müsste ja dann einfach den doppelten Winkel ergeben und als Länge das Produkt der beiden Längen, oder?
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:06 Mo 14.01.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo Bastiane.
Ich habe dazu mal folgendes Bild gefunden:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Ich hoffe, das hilft weiter
Marius
Dateianhänge:
Anhang Nr. 2 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:12 Mo 14.01.2008 | | Autor: | M.Rex |
So, Bild in angebrachter Grösse eingefügt, sorry
Marius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:56 Mo 14.01.2008 | | Autor: | crashby |
Hey Bastiane meinst du die konjugiert komplexe Zahl wo das hier gilt?
$ [mm] z=re^{i\cdot \phi} \gdw \overline{z}=re^{-i\phi} [/mm] $
$ z=x+iy [mm] \gdw \overline{z}=x-iy [/mm] $
lg George
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:24 Mo 14.01.2008 | | Autor: | Alex__ |
Hallo zusammen,
@all: Wie kann ich eine Antwort schreiben, wenn bereits eine Antwort auf eine Frage gepostet wurde? Irgendwie raff ich das System noch nicht.
@Bastiane: Eine Multiplikation im Komplexen kann man geometrisch als Drehstreckung deuten. Mit Hilfe der Polarform ist dies unmittelbar ersichtlich.
Sind zwei komplexe Zahlen z=|z|eiφ und w==|w|eiψ in Polardarstellung gegeben, dann ist die Multiplikation durch
zw= =|z||w| ei ·(φ+ψ)
gegeben. Soll nun w das multiplikative Inverse zu z sein, dann muss die Gleichung wz=1=zw erfüllt sein. Nun kannst Du selbst nachprüfen, ob Deine Vermutung korrekt ist.
LG
Alex
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> Man kann sich natürlich das Inverse
> einfach ausrechnen und dann einzeichnen, aber wir hatten es
> irgendwie einfacher gemacht und das wollte ich jetzt mal
> nachvollziehen.[...]Das hieße dann, dass ich, wenn ich z gezeichnet
> habe, einfach die Länge des Vektors invertieren muss und
> den Winkel von des x-Achse aus gesehen in die andere
> Richtung laufe, oder?
Hallo,
ja, so ist das.
Das Invertieren der Länge kannst Du rein geometrisch lösen, indem Du die zu invertierende komplexe Zahl in der Gaußschen Zahlenebene einträgst zusammen mit dem Einheitskreis und dann den Strahlensatz anwendest. (Ich bin mir nicht sicher, ob dies Bestandteil Deiner Frage ist.)
> Und bei den anderen Sachen: das komplex Konjugierte ist die
> Spiegelung an der x-Achse,
Ja.
> eine Spiegelung an x und y-Achse
> wäre doch das additiv Inverse,
Ja. (=Spiegelung am Ursprung.)
und was gibt es sonst noch,
> was man da einzeichnen könnte? Kann es sein, dass wir auch
> noch das Produkt recht einfach eingezeichnet haben, das
> müsste ja dann einfach den doppelten Winkel ergeben und als
> Länge das Produkt der beiden Längen, oder?
Genau, bei Multiplizieren addiert man die Winkel und multipliziert die Längen.
Gruß v. Angela
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![[lupe]](/images/smileys/lupe.gif "[lupe]"){kind=small}
, was ich schreibe. 