Inverse durch LR- und Cholesky < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Hallo Matheraum!
Das ist eher eine selbstgestelle Aufgabe. Wir haben in der Vorlesung die LR und die Cholesky Zerlegung durchgenommen. Meine Frage probiere ich mathematisch korrekt zu formulieren. Es tut mir leid, wenn das nicht so klappt^^
Sei A eine Matrix mit hinreichenden Bedingungen für beide Verfahren (ich will die jetzt nicht erläutern). Ich will in beiden Verfahren per Hand möglichst schnell auf die Inverse von A kommen.
Zunächst zur LR Zerlegung. A=LR -> [mm] A^{-1}=(LR)^{-1}=R^{-1}*L^{-1}. [/mm] L ist eine untere Dreiecksmatrix und R eine obere Dreiecksmatrix. Deren Inverse zu berechnen ist deshalb nicht schwierig und ich komme durch Multiplikation zum Ergebnis. Gibt es noch einen besseren Weg?
Jetzt zur Cholesky Zerlegung. [mm] A=GG^T [/mm] -> [mm] A^{-1}=(GG^T)^{-1}=(G^{T})^{-1}*G^{-1}=(G^{-1})^{T}*G^{-1}. [/mm] Hier muss ich [mm] G^{-1} [/mm] ausrechnen und komme mit einmal transponieren und einmal multiplizieren zum Ergebnis. Geht das besser?
Danke euch. Liebe Grüße, Björn
|
|
| |
|
Hi,
Mittlerweile glaube ich, dass man die Inverse durch die LR Zerlegung nicht schneller per Hand berechnen kann. Bei der Cholesky Zerlegung bin ich mir nach wie vor sehr unsicher und freue mich auf eure Meinung. Darüber hinaus frage ich mich wie es aussieht, wenn man die LR und auch die Cholesky Zerlegung zur Hand hat. Geht es dann irgendwie schneller?
LG, Björn
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:45 Di 25.03.2014 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Also ich habe das jetzt nicht probiert, aber bei der LR-zerlegung musst du doch etwas einfachere Matrizen $L$ und $R$ invertieren, aber dafür eben 2 an der Zahl, sodass sich da eventuell nicht so viel tut. Hast du ja selbst durchprobiert. Wenn du vorher erst noch die Zerlegung ausrechnen musst, würde ich $A$ lieber direkt invertieren. Aber wie gesagt, ich habe es nicht anhand von Beispielen geprüft, das ist nur meine Intuition. ;)
Und bei der Cholesky-Zerlegung ist es ja ca. das gleiche, 2 Dreiecksmatrizen invertieren.
|
|
|
| |
|
Hallo und danke für deine Antwort!
> Also ich habe das jetzt nicht probiert, aber bei der
> LR-zerlegung musst du doch etwas einfachere Matrizen [mm]L[/mm] und
> [mm]R[/mm] invertieren, aber dafür eben 2 an der Zahl, sodass sich
> da eventuell nicht so viel tut. Hast du ja selbst
> durchprobiert. Wenn du vorher erst noch die Zerlegung
> ausrechnen musst, würde ich [mm]A[/mm] lieber direkt invertieren.
Es geht mir in beiden Fällen darum, dass die Zerlegungen
schon gegeben sind. Zum Beispiel so eine Aufgabe: 1) Mache LR-Zerlegung von A, 2) Berechne Inverse von A. Hier ist es natürlich sinnvoll mit der LR Zerlegung die Inverse zu berechnen, sofern A nicht zu klein ist.
> Aber wie gesagt, ich habe es nicht anhand von Beispielen
> geprüft, das ist nur meine Intuition. ;)
Genau das brauche ich. Es geht ja nicht um die Rechneroptimierung, sondern darum, dass ich es mit der Hand schneller berechnen kann.
> Und bei der Cholesky-Zerlegung ist es ja ca. das gleiche, 2
> Dreiecksmatrizen invertieren.
Genau. Ich habe noch eine Frage. Als Beispiel wieder eine Aufgabe, damit es klar wird. 1) Berechne LR und Cholesky Zerlegung von A, 2) Berechne Inverse von A. Was würdest du benutzen? Liege ich richtig wenn ich sage: eins von beiden? Beides zusammen irgendwie anwenden kriege ich nicht vernünftig hin.
Lg, Björn
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:42 Di 25.03.2014 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Also ich würde vermutlich einfach direkt invertieren. L und R lassen sich eventuell halb so schnell invertieren, aber insgesamt hast du die Arbeit eben 2 mal und am Ende musst du dann immer noch die Matrizen multiplizieren, also hast mehr Fehlerquellen.
|
|
|
| |
|
Hallo, es geht mir nicht um die Vor- und Nachteile der Berechnung der Inversen durch die LR- und die Cholesky Zerlegung. Vielleicht mal ein Beispiel, welches ich in einer Altklausur gefunden habe ohne Lösung.
Gegeben ist eine 3x3-Matrix.
1) LR-Zerlegung
2) Cholesky Zerlegung durch dir LR-Zerlegung
3) Kondition von A bzgl Zeilensummennorm mit Hilfe der LR- sowie Cholesky Zerlegung
Nachdem man nun also die LR und die Cholesky Zerlegung berechnet hat soll man die Kondition angeben. Dafür braucht man die Inverse von A. Dann habe ich mir halt überlegt was hier Sinn macht.
Möglichkeiten
a) A=LR -> [mm] A^{-1}=(LR)^{-1}=R^{-1}L^{-1} [/mm] %% Kann man das vereinfachen? Ich glaube nicht.
b) [mm] A=(GG^T) [/mm] -> [mm] A^{-1}=(GG^T)^{-1}=(G^{T})^{-1}G^{-1}=(G^{-1})^T*G^{-1} [/mm] %% Kann man das vereinfachen?
Vergleich:
a) 2x invertieren + 1x multiplizieren.
b) 1x invertieren + 1x transponieren + 1x multiplizieren.
-> Durch die Cholesky Zerlegung erhalten wir die Inverse von A angenehmer.
Kann man sich nun durch beide Zerlegungen noch irgendetwas sparen? In der Aufgabenstellung ist davon die Rede, dass man sowohl die LR als auch die Cholesky Zerlegung zur Inversen benutzen sollte. Geht das überhaupt? Im Allgemeinen kann man zwar definieren A=LR und [mm] A=LL^T, [/mm] aber dabei gilt im Allgemeinen NICHT [mm] R=L^T. [/mm] Wäre nett, wenn sich das jemand anguckt.
Die gesamte Frage kann man ja auch zu der Determinante von A stellen.
1) A=LR -> [mm] det(A)=det(L*R)=det(L)*det(R)=det(R)=\produkt_{i=1}^{n}r_{ii}
[/mm]
2) [mm] A=GG^T [/mm] -> [mm] det(A)=det(GG^T)=det(G)*det(G^T)=(\produkt_{i=1}^{n}g_{ii})^2
[/mm]
Gibt es eine Möglichkeit die Determinante auszurechen mit Hilfe von beiden Formeln?
Ich danke euch!
LG, Björn
|
|
|
| |
|
Hallo, ich habe das nochmal überarbeitet und hoffe, dass man mich nun mehr versteht.
LG, Björn
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:20 Fr 28.03.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:01 Di 25.03.2014 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Matheraum!
>
> Das ist eher eine selbstgestelle Aufgabe. Wir haben in der
> Vorlesung die LR und die Cholesky Zerlegung durchgenommen.
> Meine Frage probiere ich mathematisch korrekt zu
> formulieren. Es tut mir leid, wenn das nicht so klappt^^
>
> Sei A eine Matrix mit hinreichenden Bedingungen für beide
> Verfahren (ich will die jetzt nicht erläutern). Ich will
> in beiden Verfahren per Hand möglichst schnell auf die
> Inverse von A kommen.
>
> Zunächst zur LR Zerlegung. A=LR ->
> [mm]A^{-1}=(LR)^{-1}=R^{-1}*L^{-1}.[/mm] L ist eine untere
> Dreiecksmatrix und R eine obere Dreiecksmatrix. Deren
> Inverse zu berechnen ist deshalb nicht schwierig und ich
> komme durch Multiplikation zum Ergebnis. Gibt es noch einen
> besseren Weg?
>
> Jetzt zur Cholesky Zerlegung. [mm]A=GG^T[/mm] ->
> [mm]A^{-1}=(GG^T)^{-1}=(G^{T})^{-1}*G^{-1}=(G^{-1})^{T}*G^{-1}.[/mm]
> Hier muss ich [mm]G^{-1}[/mm] ausrechnen und komme mit einmal
> transponieren und einmal multiplizieren zum Ergebnis. Geht
> das besser? Noch eine Idee: [mm]A=GG^T[/mm] ->
> [mm]A^{-1}=(GG^T)^{-1}=(G^{T})^{-1}*G^{-1}=G^{-1}*G^{-1}=2G^{-1},[/mm]
Nur eine [mm] Anmerkung:G^{-1}*G^{-1}\ne 2G^{-1}.
[/mm]
[mm] G^{-1}*G^{-1}=(G^{-1})^2
[/mm]
fred
> denn [mm]G^T=G.[/mm]
>
> Danke euch. Liebe Grüße, Björn
|
|
|
| |
|
Hallo fred, Danke dir! Ich habe es verbessert!
LG, Björn
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:20 Mi 26.03.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
