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| Aufgabe | Für welche Parameter [mm] \lambda\in\IR [/mm] ist folgende Matrix invertierbar?
[mm] A=\pmat{ 1 & 2 \\ 3 & \lambda }
[/mm]
Im Falle der Invertierbarkeit von A bestimmen Sie in Abhängigkeit des Parameters [mm] \lambda [/mm] die zu A inverse Matrix [mm] A^{-1} [/mm] . |
Hallo,
jede Matrix ist dann invertierbar, wenn die Determinante ungleich 0 ist. Hier ist die Determinante = [mm] (1*\lambda)-2*3=\lambda-6.
[/mm]
Schön und gut, aber wie errechne ich die inverse Matrix zur Matrix A? Mit dem Gauß-Verfahren. Aber mich stört das [mm] \lambda [/mm] . Ich muss es ja schaffen, dass die 2 eine Null wird. Wie gelingt mir das? Könnt ihr mir einen Tipp geben? Wäre euch dankbar. Es geht um meinen Schein... ;)
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo, gebe aber noch an, für [mm] \lambda\not=6, [/mm] denn für [mm] \lambda=6 [/mm] wird ja die Determinante zu Null,
[mm] \pmat{ 1 & 2 & 1 & 0 \\ 3 & \lambda & 0 & 1}
[/mm]
schreibe die Einheitsmatrix dahinter, jetzt durch Zeilenumformungen die Einheitsmatrix nach links bringen, dann fertig
Steffi
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Vielen Dank für die schnelle Antwort.
Aber die Einheitsmatrix links hinzubekommen, ist ja gerade mein Problem.
A= 1 2
3 Lambda
Irgendwann steht dann bei mir:
A = 1 2 1 0
0 Lambda-6 -3 1
Was mach ich, damit die 2 eine Null wird. Das Lambda-6 stört mich. Danke schonmal.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:39 Do 14.02.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
ich weiß gar nicht, was Du da rechnest. Du wirst hier 4 Gleichungen in 4 Variablen erhalten, dieses Gleichungssystem wird für [mm] $\lambda \not=6$ [/mm] lösbar sein (übrigens ist eine (quadratische) Matrix GENAU DANN invertierbar, wenn die Determinante nicht verschwindet).
Wenn Du also
[mm] $A=\pmat{ 1 & 2 \\ 3 & \lambda }$ [/mm] mit [mm] $\lambda \not=6$
[/mm]
gegeben hast und
[mm] $A^{-1}=\pmat{a & b\\ c & d}$
[/mm]
suchst, so muss [mm] $A*A^{-1}=\pmat{ 1 & 2 \\ 3 & \lambda }*\pmat{a & b\\ c & d}=\pmat{1 & 0 \\ 0 & 1}$ [/mm]
gelten, was (für beliebiges, aber festes [mm] $\lambda \in \IR \backslash\{6\}$) [/mm] die vier Gleichungen in den vier Variablen $a,b,c,d$:
(I) $a+2c=1$
(II) $b+2d=0$
(III) [mm] $3a+\lambda*c=0$ [/mm] (hier erkennt man, wenn man mit (I) vergleicht,
übrigens auch, warum [mm] $\lambda \not=6$ [/mm] sein sollte, wenn [mm] $A^{-1}$ [/mm] existiert)
(IV) [mm] $3b+\lambda [/mm] d=1$
zur Folge hat, und dieses Gleichungssystem ist (genau) für [mm] $\lambda \not=6$ [/mm] in eindeutiger Weise lösbar.
Wie gesagt, betrachte [mm] $\lambda \not=6$ [/mm] als fest und löse diese vier Gleichungen in den vier Varibalen $a,b,c,d$, um $a$, $b$, $c$ und $d$ zu bestimmen.
Beachten solltest Du nämlich:
Es ist [mm] $A=A(\lambda)$, [/mm] also wird auch [mm] $A^{-1}$ [/mm] von [mm] $\lambda$ [/mm] abhängig sein (und überhaupt existent genau dann, wenn [mm] $\lambda \not=6$).
[/mm]
Gruß,
Marcel
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Sry, aber das verstehe ich nicht. Ich soll jetzt a,b,c,d herausbekommen. Aber wie kommst du auf die Gleichungen I-IV? Und wenn man die Gleichungen hat: Wie errechne ich damit a-d?
Ich dachte, es sei ganz schnell zu ermitteln? Siehe Steffi oben.
Danke schonmal.
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Hallo wir hatten ja
[mm] \pmat{ 1 & 2 & 1 & 0 \\ 3 & \lambda & 0 & 1 }
[/mm]
neue II. Zeile bilden: 3*I-II
[mm] \pmat{ 1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 6-\lambda & 3 & -1 }
[/mm]
neue I. Zeile bilden: [mm] (6-\lambda)*I-2*II
[/mm]
[mm] \pmat{6-\lambda & 0 & -\lambda & 2 \\ 0 & 6-\lambda & 3 & -1 }
[/mm]
jetzt 1. Zeile/ 1. Spalte muß eine 1 stehen
jetzt 2. Zeile/ 2. Spalte muß eine 1 stehen
also dividiere beide Zeilen durch ....
dann steht links die Einheitsmatrix und rechts die inverse Matrix
Steffi
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Danke!
Nur zur Kontrolle: Was kommt dann da raus?
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Hallo, du schaffst den letzten Schritt:
Division durch [mm] 6-\lambda
[/mm]
in der 1. Zeile:
[mm] \bruch{6-\lambda}{6-\lambda}=
[/mm]
[mm] \bruch{0}{6-\lambda}=
[/mm]
[mm] \bruch{-\lambda}{6-\lambda}
[/mm]
[mm] \bruch{2}{6-\lambda}
[/mm]
in der 2. Zeile:
[mm] \bruch{0}{6-\lambda}=
[/mm]
[mm] \bruch{6-\lambda}{6-\lambda}=
[/mm]
[mm] \bruch{3}{6-\lambda}
[/mm]
[mm] \bruch{-1}{6-\lambda}
[/mm]
Steffi
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:47 Do 14.02.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
damit Du meinen Rechenweg auch nachvollziehen kannst:
Die 4 Gleichungen
(I) $a+2c=1$
(II) $b+2d=0$
(III) $ [mm] 3a+\lambda\cdot{}c=0 [/mm] $
(IV) $ [mm] 3b+\lambda [/mm] d=1 $
entstanden aus der Forderung [mm] $A*A^{-1}=\pmat{1 & 0 \\ 0 & 1}$, [/mm] wobei wir $a,b,c,d$ gesucht haben, um [mm] $A^{-1}$ [/mm] angeben zu können.
(Du weißt doch sicherlich, wie man Matrizen miteinander multipliziert, da solltest Du eigentlich sehen, wie diese 4 Gleichungen entstanden sind?!)
Aus $3*$(I)-(III) folgt [mm] $(6-\lambda)*c=3$, [/mm] also [mm] $c=\frac{3}{6-\lambda}$ [/mm] und damit [mm] $a=1-\frac{6}{6-\lambda}=\frac{-\lambda}{6-\lambda}$.
[/mm]
$3*$(II)-(IV) liefert [mm] $(6-\lambda)d=-1$ [/mm] und damit [mm] $d=\frac{-1}{6-\lambda}$ [/mm] und damit [mm] $b=-2d=\frac{2}{6-\lambda}$, [/mm] also insgesamt
[mm] $A^{-1}=\pmat{a & b\\ c & d}=\frac{1}{6-\lambda}\pmat{-\lambda & 2\\ 3 & -1 }$
[/mm]
Zur Kontrolle:
[mm] $\pmat{1 & 2 \\ 3 & \lambda}*\pmat{-\lambda & 2\\ 3 & -1 }=\pmat{-\lambda+6 & 0 \\0 & 6-\lambda}=(6-\lambda)*\pmat{1&0\\0&1}$
[/mm]
P.S.:
Es kann ja sein, dass Dir Steffis Weg besser gefällt, weil ihr dieses Schema so gelernt habt, aber diese Rechnung hier solltest Du eigentlich nachvollziehen können, denn es mag ja gut sein, wenn man nach einem Schema zu rechnen weiß, aber ich finde es um einiges wichtiger, zu wissen, was man da rechnet und warum man das so rechnen darf, dann kann man sich bei "großen" Rechnungen immer noch überlegen, ob man nicht selbst ein Schema entwickelt oder ggf. nachschlägt, wie man das "übersichtlicher" lösen kann (und hier gibt es offensichtliche Zusammenhänge zwischen meiner Rechnung und Steffis, wäre auch schlimm, wenn's nicht so wäre  ).
Natürlich gilt das obige Ergebnis nur für [mm] $\lambda \not=6$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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