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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:43 Sa 26.06.2010 | | Autor: | Hubert12 |
Ich habe vor Jahren an der Uni ein Verfahren für die Bestimmung einer Inversen benutzt, das folgendermaßen funktioniert hat:
Man hat die Matrix A (von der die Inverse bestimmt werden sollte) auf dei linke Seite geschrieben und auf die Rechte Seite die Einheitsmatrix. Dann hat man mit beiden Matrizes Zeilenumformungen (nach Gauß) gemacht, bis auf der linken Seite die Einheitsmatrix stand. Auf der rechten Seite (wo davor die Einheitsmatrix war) blieb dann die Inverse der Matrix A (und damit hatten wir sie bestimmt).
Ich hab schon im Internet rumgesucht, finde aber keinen Namen für das Verfahren. Außerdem bin ich ein wenig skeptisch, weil ich mich frage wofür man denn dann überhaupt das (aus meiner Sicht viel kompliziertere) Verfahren mit der bekannten Formel [mm] (A^{-1} [/mm] = [mm] \bruch{1}{ad-bc}*\pmat{ a & b \\ c & d }) [/mm] anwendet.
Kann mir wer eine Begründung nennen bzw. eine Erklärung liefern? Vielen Dank!
Lg
Hubert
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo Hubert,
seien $\ A, B $ zwei reelle Matrizen und $\ E $ die Einheitsmatrix.
Dann hat die Gleichung
$\ AB = E $ $\ (\*) $
genau die Lösung $\ B = A^{-1} $, vorausgesetzt $\ A $ ist invertierbar.
Das liegt daran, dass die Einheitsmatrix $\ E $ das neutrale Element bezüglich Multiplikation im Vektorraum der rellen Matrizen $\ M_{n,m}(\IR) = \IR^{n\times m} $ ist.
Somit gilt
$\ A*E = A $
$\ A*A^{-1} = E = A^{-1}*A $
Um die Gleichung $\ (\*) $ nun zu Lösen, multiplizierst du das Ganze mit der Inversen $\ A^{-1} $ :
$\ A^{-1}(AB)= A^{-1}E \ \Rightarrow (A^{-1}A)B = A^{-1} \ \Rightarrow E*B = A^{-1} \ \Rightarrow B = A^{-1} $
Das ist der Grund, wieso du, um das Inverse einer Matrix $\ A $ zu bestimmen das Gleichungssystem $\ \left( A | E ) $ simultan löst. Das Ergebnis ist deine Matrix $\ B = A^{-1} $
> Ich hab schon im Internet rumgesucht, finde aber keinen
> Namen für das Verfahren. Außerdem bin ich ein wenig
> skeptisch, weil ich mich frage wofür man denn dann
> überhaupt das (aus meiner Sicht viel kompliziertere)
> Verfahren mit der bekannten Formel [mm](A^{-1}[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{ad-bc}*\pmat{ a & b \\ c & d })[/mm] anwendet.
Nun, das hängt mit der Determinante einer Matrix $\ A $ zusammen.
Siehe dazu auch: ![[]](/images/popup.gif) Berechnung der Inversen einer Matrix
Das ist im Übrigen der Grund, weshalb eine Matrix nicht invertierbar ist, wenn $\ [mm] \det [/mm] A = 0 $
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> Kann mir wer eine Begründung nennen bzw. eine Erklärung
> liefern? Vielen Dank!
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> Lg
> Hubert
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
Grüße
ChopSuey
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:25 Sa 26.06.2010 | | Autor: | Hubert12 |
Zunächst mal Danke für die Antwort.
Das mit Deiner Herleitung verstehe ich mal so weit (danke auf für den Link!). Allerdings verstehe ich leider noch nicht, warum durch die simultane Anwendung des Gauss-Jordan-Algorithmus auf beide Matrizes dann aus der Einheitsmatrix die Inverse wird.
Ich versuchs irgendwie logisch zu verstehen, aber irgendwas fehlt mir dazu anscheinend noch.
Ich beschreibs mal so wie ich es sehe: Also man hat die eigentliche Matrix und mittels des GJ-Algorithmus versimplifiziert man sie auf dei Einheitsmatrix. Die Einheitsmatrix selbst wird durch die selben Umformungsschritte zu dem was man mit der Matrix A multiplizieren müsste, um wieder auf dei Einheitsmatrix zu kommen. Aber wieso durch den GJ-Algorithmus diese Inverse zustande kommt, ist mir irgendwie nicht klar.
Danke!
Lg
Hubert
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Vielleicht wird es anschaulicher wenn du dir die Umformungen als Multiplikation mit Elementar Matrizen [mm] $E_i$ [/mm] vorstellst.
[m]
\begin{array}{c|c}
A\cdot E_1 & 1_n \cdot E_1 \\
A\cdot E_1\cdot E_2 & 1_n\cdot E_1\cdot E_2 \\
A\cdot E_1\cdot E_2\cdot E_3& 1_n\cdot E_1\cdot E_2\cdot E_3 \\
\vdots&\vdots\\
1_n = A\cdot E_1\cdot E_2\cdot E_3\cdot \ldots \cdot E_k & \red{1_n\cdot E_1\cdot E_2\cdot E_3\cdot \ldots \cdot E_k =:B\
\end{array}
[/m]
Das sind jetzt hier Spaltenumformungen. Dann kannst du ja [mm] $A\cdot [/mm] B$ berechnen:
[mm] $A\red{B}=A\cdot \red{1_n \cdot E_1\cdot E_2\cdot E_3\cdot \ldots \cdot E_k}$
[/mm]
[mm] $AB=A\cdot E_1\cdot E_2\cdot E_3\cdot \ldots \cdot E_k$
[/mm]
[mm] $AB=1_n$
[/mm]
[mm] $B=A^{-1}$ [/mm] (Invertierbarkeit war vorausgesetzt.)
Damit ist sicher B die Inverse von A.
Hier sind [mm] $E_i$ [/mm] irgendwelche elementare Matrizen. Der Index soll nur andeuten, dass es mehrere sind.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:55 Mo 28.06.2010 | | Autor: | Hubert12 |
Zunächst mal vielen Dank für den anschaulichen Erklärungsversuch. Ich verstehe es allerdings leider immer noch nicht ganz. Warum ist die Berechnung jetzt in Spalten?
Ah, ok. D.h. auf der linken Seite entsteht durch die Multiplikation mit den Elementarmatrizes die Einheitsmatrix.
Und wenn man jetzt davon ausgeht, dass eine Einheitsmatrix auf dieselbe Art umgeformt wird, so erhält man eine Matrix B.
Man kann also folgendermaßen beides anschreiben (auf beiden Seiten steht das Gleiche):
$ [mm] A\red{B}=A\cdot \red{1_n \cdot E_1\cdot E_2\cdot E_3\cdot \ldots \cdot E_k} [/mm] $
Dann rechnet man es aus und erhält:
$ [mm] AB=1_n [/mm] $
Ok, bis hier hin so weit ok. Aber dann muss ich beide Seiten mit [mm] A^{-1} [/mm] multiplizieren, woraufhin links I*B und rechts [mm] A^{-1}*I [/mm] steht? Und daraus ergibts sich [mm] B=A^{-1}?
[/mm]
Danke!
Lg
Hubert
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:45 Mo 28.06.2010 | | Autor: | max3000 |
Also wir haben das damals
"Austauschverfahren"
genannt. Vielleicht findest du ja unter dem Namen was du suchst.
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Huhu,
ok jetzt mal langsam ganz einfach:
Wir schreiben A und [mm] 1_n [/mm] nebeneinander, wie man es ja auch macht:
$A | [mm] 1_n$
[/mm]
Nun machen wir den ersten Schritt vom Gauß-Algorithmus auf beiden Seiten, den wir als Elementarmatrix [mm] E_1 [/mm] darstellen können, dann steht da:
[mm] $A*E_1 [/mm] | [mm] 1_n*E_1$
[/mm]
Und brauchen wir eine gewisse Anzahl Schritte um den Gauß-Algorithmus bis zum Ende durchzuführen, sagen wir mal wir brauchen m Schritte, jeden können wir durch ein [mm] E_j [/mm] schreiben, dann steht da:
[mm] $A*E_1*E_2*\ldots*E_m [/mm] | [mm] 1_n*E_1*\ldots*E_m$
[/mm]
Wenn wir fertig sind, haben wir aus A ja gerade in m Schritten die Einheitsmatrix gewonnen, d.h.
[mm] $A*E_1*E_2*\ldots*E_m$ [/mm] = [mm] 1_n
[/mm]
Aufgrund der Eindeutigkeit der Inversen gilt sofort:
[mm] $A^{-1} [/mm] = [mm] E_1*E_2*\ldots*E_m$ [/mm] und wenn wir nun hinschauen, steht auf der rechten Seite eben gerade
[mm] $E_1*E_2*\ldots*E_m$ [/mm] und damit [mm] A^{-1}
[/mm]
MFG,
Gono.
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