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| Aufgabe | Sei [mm] $\IK$ [/mm] ein Körper, [mm] $\dim [/mm] V = n < [mm] \infty$, [/mm] $A [mm] \in \mathrm{End}_{\IK}(V)$.
[/mm]
Sei [mm] $\lambda \in \IK$ [/mm] Eigenwert zu $A$ und $w [mm] \in [/mm] V$ ein Eigenvektor zum Eigenwert [mm] $\lambda$.
[/mm]
Wir nehmen außerdem an, dass es ein $v [mm] \in [/mm] V$ gibt mit $Av = [mm] \lambda [/mm] v + w$ gibt.
1) Zeige, dass der von $v$ und $w$ erzeugte Unterraum die Dimension $2$ hat und $A$-invariant ist.
2) Zeige, dass $A$ nicht diagonalisierbar ist. |
Hallo liebe Vorhelfer,
diese Aufgabe erschließt sich mir nicht ganz.
Ich weiß, dass [mm] \lambda [/mm] ein Eigenwert ist und w ein dazugehöriger Eigenvektor, also:
$Aw = [mm] \lambda [/mm] w$ es gibt ein v [mm] \in [/mm] V, sodass
$Av = [mm] \lambda [/mm] v + w$.
Ich lass jetzt einfach A nochmal da drauf los, also:
$A(Av) = A [mm] \lambda [/mm] v + Aw = A [mm] \lambda [/mm] v + [mm] \lambda [/mm] w $
Damit ist: $A(Av) = [mm] \lambda [/mm] ( Av + w) $
Aber gewonnen habe ich nicht wirklich etwas, aber sowas muss ich doch für die A-invarianz machen?
Ich versteh auch die Eigenschaft von diesem Vektor v nicht wirklich... Av = [mm] \lambda [/mm] v + w
Ich bin gerade am lernen, und würde mich über einen Hinweis oder Tipp sehr freuen!
Vielen dank schon vorweg und schöne Grüße!!
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum im Internet gestellt.
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Hallo,
> Sei [mm]\IK[/mm] ein Körper, [mm]\dim V = n < \infty[/mm], [mm]A \in \mathrm{End}_{\IK}(V)[/mm].
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> Sei [mm]\lambda \in \IK[/mm] Eigenwert zu [mm]A[/mm] und [mm]w \in V[/mm] ein
> Eigenvektor zum Eigenwert [mm]\lambda[/mm].
>
> Wir nehmen außerdem an, dass es ein [mm]v \in V[/mm] gibt mit [mm]Av = \lambda v + w[/mm]
> gibt.
>
> 1) Zeige, dass der von [mm]v[/mm] und [mm]w[/mm] erzeugte Unterraum die
> Dimension [mm]2[/mm] hat und [mm]A[/mm]-invariant ist.
> 2) Zeige, dass [mm]A[/mm] nicht diagonalisierbar ist.
> Hallo liebe Vorhelfer,
>
> diese Aufgabe erschließt sich mir nicht ganz.
>
> Ich weiß, dass [mm]\lambda[/mm] ein Eigenwert ist und w ein
> dazugehöriger Eigenvektor, also:
>
> [mm]Aw = \lambda w[/mm] es gibt ein v [mm]\in[/mm] V, sodass
>
> [mm]Av = \lambda v + w[/mm].
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> Ich lass jetzt einfach A nochmal da drauf los, also:
>
> [mm]A(Av) = A \lambda v + Aw = A \lambda v + \lambda w[/mm]
>
> Damit ist: [mm]A(Av) = \lambda ( Av + w)[/mm]
>
> Aber gewonnen habe ich nicht wirklich etwas, aber sowas
> muss ich doch für die A-invarianz machen?
nein. was haben die vektoren im besagten UR allgemein fuer eine gestalt? richtig: [mm] $u=\mu_1 v+\mu_2 [/mm] w$. Wende jetzt A auf u an und zeige, dass Au wieder im UR liegt.
>
> Ich versteh auch die Eigenschaft von diesem Vektor v nicht
> wirklich... Av = [mm]\lambda[/mm] v + w
>
da gibts nicht so viel zu verstehen, ist halt so vorausgesetzt...
fuer die diagonalisierbarkeit schau dir doch mal an, wie die abbildungs matrix von A eingeschraenkt auf den UR aussieht, natuerlich bezueglich der basis v,w.
und dann ueberleg dir, wie die jordannormalform auf diesem UR aussieht.
> Ich bin gerade am lernen, und würde mich über einen Hinweis
> oder Tipp sehr freuen!
>
> Vielen dank schon vorweg und schöne Grüße!!
>
> Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum im Internet
> gestellt.
gruss
matthias
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Hallo Matthias!
Jetzt dachte ich gerade, man bist du noch spät wach! Aber in Auckland ist es ja gerade erst später abend :)
Also ich hab mir noch mal was überlegt.
Zunächst das Dimensionsargument:
U = <v, w>, denn wäre dim U < 2, so müssten v und w linear abhängig sein, d.h. v [mm] \in [/mm] <w>, d.h. v müsste ein vielfaches von w sein, da <w> A-invariant ist.
Durch die Wahl von v sodass Av = [mm] \lambda [/mm] v + w ist, stellen wir das sicher.
Nun zur A-invarianz:
Sei u [mm] \in [/mm] U, es ist A(u) = [mm] A(\mu_1 [/mm] v + [mm] \mu_2 [/mm] w) = [mm] \mu_1 [/mm] Av + [mm] \mu_2 [/mm] Aw = [mm] \mu_1 \lambda [/mm] v + [mm] (\mu_1 [/mm] + [mm] \mu_2 \lambda) [/mm] w
= [mm] \eta_1 [/mm] v + [mm] \eta_2 [/mm] w [mm] \in [/mm] U, da [mm] \mu_1 \lambda [/mm] v in U wie auch [mm] (\mu_1 [/mm] + [mm] \mu_2 \lambda) [/mm] w.
Die Abbildungsmatrix eingeschränkt...naja, mit diesen hatte ich schon immer schwierigkeiten.
Ich hätte nun gesagt:
AU = [mm] \pmat{ \lambda & 1 \\ 0& \lambda }
[/mm]
[mm] $Chi_{AU}(x) [/mm] = [mm] (x-\lambda)^2$
[/mm]
[mm] $m_A_U(x) [/mm] = [mm] (x-\lambda)^2$
[/mm]
[mm] $Kern(A-\lambda [/mm] E) = [mm] Kern(\pmat{ 0& 1 \\ 0& 0}) [/mm] = [mm] <\vektor{1 \\ 0}>$, [/mm] d.h. der [mm] Kern(A-\lambda [/mm] E) ist eindimensional, zum Eigenwert [mm] \lambda [/mm] gibt es ein Jordankästchen.
Dieses hat Größe 2, d.h. die Jordanform ist eben:
AU = [mm] \pmat{ \lambda & 1 \\ 0& \lambda }
[/mm]
D.h. AU ist nicht diagonalisierbar, und damit das "ganze" A ebenfalls nicht.
Was meinst du? Geht die Argumentation so halbwegs, oder hab ich beim aufstellen der Abbildungsmatrix doch einen Fehler gemacht?
Grüße und dank!
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> Hallo Matthias!
>
> Jetzt dachte ich gerade, man bist du noch spät wach! Aber
> in Auckland ist es ja gerade erst später abend :)
>
wir sind im moment 10h voraus, ja...
> Also ich hab mir noch mal was überlegt.
>
> Zunächst das Dimensionsargument:
>
> U = <v, w>, denn wäre dim U < 2, so müssten v und w linear
> abhängig sein, d.h. v [mm]\in[/mm] <w>, d.h. v müsste ein vielfaches
> von w sein, da <w> A-invariant ist.
>
> Durch die Wahl von v sodass Av = [mm]\lambda[/mm] v + w ist, stellen
> wir das sicher.
>
> Nun zur A-invarianz:
>
> Sei u [mm]\in[/mm] U, es ist A(u) = [mm]A(\mu_1[/mm] v + [mm]\mu_2[/mm] w) = [mm]\mu_1[/mm] Av
> + [mm]\mu_2[/mm] Aw = [mm]\mu_1 \lambda[/mm] v + [mm](\mu_1[/mm] + [mm]\mu_2 \lambda)[/mm] w
> = [mm]\eta_1[/mm] v + [mm]\eta_2[/mm] w [mm]\in[/mm] U, da [mm]\mu_1 \lambda[/mm] v in U wie
> auch [mm](\mu_1[/mm] + [mm]\mu_2 \lambda)[/mm] w.
>
yep.
> Die Abbildungsmatrix eingeschränkt...naja, mit diesen hatte
> ich schon immer schwierigkeiten.
>
> Ich hätte nun gesagt:
>
> AU = [mm]\pmat{ \lambda & 1 \\ 0& \lambda }[/mm]
>
> [mm]Chi_{AU}(x) = (x-\lambda)^2[/mm]
>
> [mm]m_A_U(x) = (x-\lambda)^2[/mm]
>
> [mm]Kern(A-\lambda E) = Kern(\pmat{ 0& 1 \\ 0& 0}) = <\vektor{1 \\ 0}>[/mm],
> d.h. der [mm]Kern(A-\lambda[/mm] E) ist eindimensional, zum
> Eigenwert [mm]\lambda[/mm] gibt es ein Jordankästchen.
>
> Dieses hat Größe 2, d.h. die Jordanform ist eben:
>
> AU = [mm]\pmat{ \lambda & 1 \\ 0& \lambda }[/mm]
>
> D.h. AU ist nicht diagonalisierbar, und damit das "ganze" A
> ebenfalls nicht.
sollte so gehen, ja. ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
>
> Was meinst du? Geht die Argumentation so halbwegs, oder hab
> ich beim aufstellen der Abbildungsmatrix doch einen Fehler
> gemacht?
>
> Grüße und dank!
gruss
matthias
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