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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:52 Mo 03.03.2008 | | Autor: | manolya |
| Aufgabe | Gesucht ist die Stelle x im Intervall [ 4 [mm] \pi [/mm] ;4,5 [mm] \pi [/mm] ],für die glt :
sin x =0,6. |
Tagchen,
also mir fehlt der Ansatz,wie ich dass machen muss!
Würde mich auf Eure HIlfe freuen.
Danke um Voraus.
Lg
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:37 Mo 03.03.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Gesucht ist die Stelle x im Intervall [ 4 [mm]\pi[/mm] ;4,5 [mm]\pi[/mm]
> ],für die glt :
> sin x =0,6.
> Tagchen,
>
> also mir fehlt der Ansatz,wie ich dass machen muss!
> Würde mich auf Eure HIlfe freuen.
zunächst mal ein wenig zur "Geometrie":
Es gilt [mm] $\sin^2(x)+\cos^2(x)=1$, [/mm] d.h. [mm] $0,6^2+\cos^2(x)=1$. [/mm] Wenn man also ein rechtwinkliges Dreieck mit einer Seitenlänge $0,6$ hat und die Hypothenuse die Länge $1$, dann hat die andere Seite die Länge [mm] $\sqrt{1-0,36}=0,8$.
[/mm]
Mit anderen Worten:
Zeichne mal ein Dreieck mit Eckpunkten $A,B,C$ und sei wie üblich $c$ die Seite gegeben durch die Punkte $A$ und $B$, $a$ die gegeben durch $B$, $C$ und $b$ gegeben durch die Punkte $A$ und $C$.
Dabei soll $c$ dieLänge $1$ haben, die Seite $a$ habe Länge $0,6$ und $b$ habe Länge $0,8$. Dieses Dreieck ist rechtwinklig mit Hypothenuse $c$, und es gilt, dass der Winkel an $A$, nennen wir ihn wie üblich [mm] $\alpha$, [/mm] erfüllt:
[mm] $\sin(\alpha)=\frac{|\overline{BC}|}{|\overline{AB}|}=\frac{0,6}{1}=0,6$ [/mm]
Ob sich dieser Winkel [mm] $\alpha$ [/mm] "schön" angeben läßt, also in "konkreter" Abhängigkeit von [mm] $\pi$, [/mm] könnte man versuchen, sich geometrisch zu überlegen; ich erspare es mir an dieser Stelle. Jedenfalls ist klar:
[mm] $\sin(x)=\frac{3}{5}$ [/mm] hat genau eine Lösung im Intervall [mm] $\left[0, \frac{\pi}{2} \right]$, [/mm] diese nennen wir [mm] $x_0$, [/mm] also [mm] $x_0:=\arcsin(0,6)$. [/mm] Der Taschenrechner liefert dafür:
[mm] $\arcsin(0,6) \approx [/mm] 0,644$, wobei man nicht vergessen sollte, den TR auf RAD zu stellen.
(Übrigens gibt es eine weitere Lösung im Intervall [mm] $\left[\frac{\pi}{2},\pi\right]$, [/mm] das sollte man im Auge behalten, wenn man oben z.B. nach der Lösung im Intervall [mm] $\left[4,5 \pi, 5\pi\right]$ [/mm] fragen würde. Generell sollte man bei derartigen Aufgaben halt erstmal "alle" Lösungen im Intervall [mm] $[0,2\pi]$ [/mm] im Auge haben!)
Weil der [mm] $\sin(.)$, [/mm] auf [mm] $\IR$ [/mm] definiert, die (kleinste) Periode [mm] $2\pi$ [/mm] hat, gilt für jedes $x [mm] \in \IR$ [/mm] und jedes $k [mm] \in \IZ$: [/mm]
[mm] $sin(x+k*2\pi)=\sin(x)$
[/mm]
Demnach gibt es auch in dem Intervall [mm] $\left[4\pi, \frac{9}{2}\pi\right]=\left[0+2*(2\pi), \frac{\pi}{2}+2*(2\pi)\right]$ [/mm] genau ein $x$ mit [mm] $\sin(x)=0,6$.
[/mm]
Im Intervall [mm] $\left[0,\frac{\pi}{2}\right]$ [/mm] hatten wir [mm] $x_0=\arcsin(0,6) \approx [/mm] 0,644$.
Wir setzen dann [mm] $x:=x_0+2*(2\pi) \in \left[4\pi, \frac{9}{2}\pi\right]$ [/mm] und behaupten, dass das die gesuchte Lösung ist.
Denn Du wirst sicherlich leicht einsehen:
[mm] $x_0=\arcsin(0,6) \in \left[0, \frac{\pi}{2}\right] \Rightarrow [/mm] x [mm] \in \left[4\pi, \frac{9}{2}\pi\right]$ [/mm] und [mm] $\sin(x)=\sin(x_0+2*(2\pi)) \Rightarrow \sin(x)=\sin(x_0)=0,6$.
[/mm]
Gruß,
Marcel
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