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(Frage) überfällig  | | Datum: | 15:32 Mo 14.05.2007 | | Autor: | dump_0 |
| Aufgabe | Die Interpolationsbedingungen [mm] $P(t_i) [/mm] = [mm] f(t_i) \equiv f_i, [/mm] i = 0, [mm] \ldots [/mm] n$ für ein Polynom vom GRade $n$
$P(t) = [mm] a_n t^n [/mm] + [mm] a_{n-1} t^{n-1} [/mm] + [mm] \ldots [/mm] + [mm] a_1 t^1 [/mm] + [mm] a_0$
[/mm]
lassen sich wie folgt als lineares Gleichungssystem formulieren:
[mm] $\underbrace{\pmat{ 1 & t_0 & t_0^2 & \cdots & t_0^n \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ 1 & t_n & t_n^2 & \cdots & t_n^n}}_{=: V_n} \vektor{a_0 \\ \vdots \\ a_n} [/mm] = [mm] \vektor{f_0 \\ \vdots \\ f_n}$
[/mm]
Zeigen Sie, dass dieses Gleichungssystem immer eine eindeutige Lösung besitzt, solange die Stützstellen [mm] $t_0, t_1, \ldots, t_n$ [/mm] paarweise verschieden sind.
Hinweis:
Nutzen Sie zur Lösung dieser Aufgabe, dass für die Determinante der Matrix [mm] $V_n$ [/mm] folgendes gilt:
[mm] $\det V_n [/mm] = [mm] \produkt_{i=0}^{n-1} \produkt_{j=i+1}^{n} (t_j [/mm] - [mm] t_i)$
[/mm]
und beweisen Sie diese Aussage durch vollständige Induktion. |
Hi!
Ich habe leider meine Probleme mit dieser Aufgabe und weiß nicht so recht wie ich hier mittels Induktion heran gehen soll, für den IA (n=1) ergibt sich jedenfall [mm] $t_0 [/mm] - [mm] t_1$, [/mm] ob diese beiden Stützstellen nun paarweise verschieden, hmm keine wie ich das zeigen kann, der Rest ist mir leider auch unklar. Wäre schön wenn mir jemand weiterhelfen könnte 
Grüße
[mm] dump_0
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:28 Mo 14.05.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo [mm] $dump_0$,
[/mm]
hab grad nur ganz kurz Zeit, aber: die Matrix nennt sich Vandermonde-Matrix und die zugehoerige Determinante Vandermonde-Determiante. Wenn du im Forum danach suchst findest du sicher etwas... (Ich hab da mindestens einmal eine recht ausfuehrliche Anleitung hier geschrieben wie das geht.)
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:20 Mi 16.05.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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