Integritätsring Teilbarkeit < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:06 So 30.03.2014 | | Autor: | Schrank |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo,
ich muss folgenden Satz beweisen:
Für Elemente in einem Integritätsring gilt:
1) a|b [mm] \Rightarrow [/mm] a|bc
2) a|b1 und a|b2 [mm] \Rightarrow [/mm] a|c1b1+c2b2
3) a|b [mm] \gdw [/mm] ca|cb
4) a|b und b|c [mm] \Rightarrow [/mm] a|c
5) a|b und b|a [mm] \gdw [/mm] a=ub für ein u [mm] \in R^{x} [/mm] , wobei [mm] R^{x}:={u \in R: u|1} [/mm] und R Integritätsring ist.
1) bis 4) habe ich schon geschafft, jedoch fehlt mir die 5)
Kann mir bitte jemand bei der Nummer 5) helfen.
Mfg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:36 So 30.03.2014 | | Autor: | hippias |
Aus der Voraussetzung folgen eine Darstellung von $a$ als Vielfaches von $b$ und umgekehrt eine von $b$ als Vielfaches von $a$. Setze den ersten Ausdruck in den zweiten ein und kuerze - begruende unbedingt, weshalb du kuerzen darfst!
Anhand der so gefundenen Relation sollte erkennbar sein, dass die Behauptung gilt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:53 So 30.03.2014 | | Autor: | Schrank |
Hallo,
danke.
Meinst du das so
a|b bedeutet nach Definition b=ac1 und b|a bedeutet a=bc2 mit c1,c2 aus R
Setzt man b=ac1 in a=bc2 ein, erhält man a=ac1c2 , da R Integritätsring ist, also ein nullteilerfreier kommutativer Ring, darf man durch a kürzen, d.h. man erhält 1=c1c2
Da c1,c2 aus R sind definieren wir [mm] \underbrace{c1c2}_{=u}
[/mm]
Stimmt das so?
Ich muss die Äquivalenz zeigen, das wäre doch nur die Hinrichtung, kannst du mir bitte bei der Rückrichtung auch noch helfen
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:45 So 30.03.2014 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Nein, in deinem Fall wäre [mm] u=c_2. [/mm] Was du gemacht hast, ist [mm] u=c_1c_2=1 [/mm] zu definieren, aber das macht ja keinen Sinn. Und wieso ist [mm] $c_2\in R^\times$?
[/mm]
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