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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:34 Mo 12.11.2007 | | Autor: | Kyrill |
| Aufgabe | | Sei R [mm] \not= [/mm] = ein kommutativer Ring mit Eins mit folgender Eigenschaft: Für jedes p [mm] \in [/mm] R[X] - existerit ein x [mm] \in [/mm] R mit p(x) = 0. Zeigen Sie, dass R ein Körper. |
Hallo,
ich habe echt Probleme mit meiner Algebra-Vorlesung und deswegen dann logischerweise auch mit den Übungsaufgaben. Ich denke, dass diese Aufgabe eventuell über den Zusammenhang geht, dass wenn R ein Körper ist, dann ist es auch ein Integritätsring ist.
Diesen Satz kenne ich aus meiner Zahlentheorie-Vorlesung. Ich weiß aber nicht ob er hier Sinnvoll einzusetzen ist...
Schoneinmal vielen Dank im Vorraus!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:19 Mo 12.11.2007 | | Autor: | andreas |
hi
> ich habe echt Probleme mit meiner Algebra-Vorlesung und
> deswegen dann logischerweise auch mit den Übungsaufgaben.
diese aufgabe lässt sich im prinzip durch nachschlagen der definition und einem kleinen einfall lösen, also nicht verzewifeln...
> Ich denke, dass diese Aufgabe eventuell über den
> Zusammenhang geht, dass wenn R ein Körper ist, dann ist es
> auch ein Integritätsring ist.
das ist genau die falsche richtung. du willst ja zeigen: "$R$ kommutativer ring mit $1$ und einer zusatzeigenschaft [mm] $\Longrightarrow$ [/mm] $R$ körper" und nicht die richtung [mm] $\Longleftarrow$ [/mm] (du hast natürlich damit auch insbesondere gezeigt, dass $R$ dann ein integritätsring ist).
schau mal in deinem vorlesungsmitschrieb nach, was die einzige eigenschaft ist, die einem kommutativem ring mit $1$ noch fehlt um ein körper zu sein. lässt sich diese eigenschaft vielleicht als lösung eines (linearen) polynoms ausdrücken?
kannst dich ja mal mit deiner definition und deinen ideen dazu nochmal melden.
grüße
andreas
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Ich habe dieselbe Aufgabe und komme auch nicht weiter, deswegen klinke ich mich einfach mal ein. Die einzige Eigenschaft, die noch zu zeigen ist, ist das inverse Element der Multiplikation, dass zu jedem Element in R[X] gegeben ist.
Nun habe ich ja meine Zusatzinformation in der Aufgabenstellung, dass zu jedem p [mm] \in [/mm] R[X]-R ein x [mm] \in [/mm] R ex. mit p(x)=0. Ich verstehe nicht, was R[X]-R bedeutet. Wie sieht so ein p aus?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:12 Mo 12.11.2007 | | Autor: | andreas |
hi
> Ich habe dieselbe Aufgabe und komme auch nicht weiter,
> deswegen klinke ich mich einfach mal ein. Die einzige
> Eigenschaft, die noch zu zeigen ist, ist das inverse
> Element der Multiplikation, dass zu jedem Element in R[X]
> gegeben ist.
ja, genau. wie lässt sich das in formeln ausdrücken und ein geeignetes polynom finden?
> Nun habe ich ja meine Zusatzinformation in der
> Aufgabenstellung, dass zu jedem p [mm]\in[/mm] R[X]-R ein x [mm]\in[/mm] R
> ex. mit p(x)=0. Ich verstehe nicht, was R[X]-R bedeutet.
> Wie sieht so ein p aus?
man kann $R$ mit den konstanten polynomen in $R[X]$ identifizieren, das heißt es gibt einen injektiven ringhomomorphismus $R [mm] \longrightarrow [/mm] R[X]; [mm] \; [/mm] a [mm] \longmapsto aX^0$. [/mm] die bedingung soll also nur aussagen, dass alle polynome außer den konstanten polynomen eine nulllstelle haben sollen.
grüße
andreas
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Okay, ich nenne mein Element aus R[X]-R, zu dem ich das multiplikativ inverse suche, f. [mm] f=\summe_{i=1}^{n}f_{i}X^{i}. [/mm] Ich suche also ein [mm] g=\summe_{j=1}^{m}g_{j}X^{j} [/mm] so dass gf=1.
Ich hab das mal so hingeschrieben, wie wir die Multiplikation mit Polynomen definiert haben und erhalte [mm] fg=\summe_{k=1}^{n+m}(\summe_{i+j=k}f_{i}g_{j})X^k. [/mm] Und da muss 1 rauskommen. Also darf am Ende der Summe nur noch [mm] X^0 [/mm] dastehen, alle Koeffizienten zu [mm] X^{k} [/mm] für [mm] k\ge1 [/mm] müssen also 0 sein, der Koeffizient zu [mm] X^{0} [/mm] muss 1 sein. Und hier treffe ich auf einen alten Feind: die Doppelsumme.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:43 Mo 12.11.2007 | | Autor: | andreas |
hi
du kannst deinen feind, die doppelsumme, auch leicht umgehen: denn du suchst nur inverse elemente für $a [mm] \in [/mm] R [mm] \setminus \{0\}$ [/mm] und nicht für $f [mm] \in [/mm] R[X] [mm] \setminus [/mm] R$ - du willst ja nur zeigen, dass $R$ ein körper ist, nicht $R[X]$. wie sieht denn dann die bedingung aus?
grüße
andreas
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Hm, ja das stimmt. Verplant. *g*
Ich suche also zu meinem [mm] a\inR [/mm] ein [mm] b\inR [/mm] mit ab=1. Da hab ich mir so überlegt, dass wenn ich mir ein Polynom f aus R[X] raussuche (denn irgendwie muss ich ja die Polynome mit reinbringen, diese Zusatzbedingung muss ja zu irgendwas gut sein) gilt: f(ab)= f(1)=f(a)f(b). Stimmt das so, kann ich damit was anfangen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:11 Mo 12.11.2007 | | Autor: | andreas |
hi
> Ich suche also zu meinem [mm]a\inR[/mm] ein [mm]b\inR[/mm] mit ab=1.
genau. und ab hier würde ich folgenden weg einschlagen: dies ist äquivalent zu $ab - 1 = 0$. lässt sich daraus jetzt ein polsnom [mm] $f_a \in [/mm] R[X]$ basteln, dessen nullstelle genau das inverse von $a$ ergeben würde?
grüße
andreas
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Zu jedem Polynom [mm] g\inR[X] [/mm] existiert ein x mit g(x)=0=ab-1.
Sorry, aber weiter komme ich nicht. Das Problem bei dieser Aufgabe bzw. diesem Kapitel allgemein ist, dass ich den Zusammenhang zwischen dem Ring R und dem Polynomring R[X] nicht so wirklich verstehe.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:45 Mo 12.11.2007 | | Autor: | andreas |
hi
es ist schwer hier noch tipps zu geben, da du wohl so dicht vor der lösung stehst, dass du sie selbst nicht siehst. betrachte nochmal die gleichung $ab - 1 = 0$. welche "werte" sind vorgegeben und was ist gesucht? ersetze diesen doch mal durch eine unbekannte, etwa $X$. was erhälst du dann. kannst du vielleicht mit der zusatzvoraussetzung über die existenz solch einer lösung dann eine aussage machen.
grüße
andreas
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Ich weiß ab=1, die Existenz eines Polynoms g und [mm] x\inR [/mm] mit g(x)=ab-1 ist mir bekannt. Gesucht ist eine Darstellung von b. Alles was ich rechne läuft auf b=1/a hinaus und das sagt mir ja nicht wirklich viel.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:58 Mo 12.11.2007 | | Autor: | Fry |
Hallo,
also: Du hast ja gegeben, dass jedes Polynom p ein Nullstelle hat, damit haben auch alle Polynome der Art p = a*X - 1 (mit a [mm] \in [/mm] R) eine Nullstelle, die ja x heißen soll. Damit ist p(x) = a*x - 1 = 0 , was wiederum bedeutet, dass a*x - 1 = 0 bzw a*x = 1, d.h. x ist Inverses zu a in R bzw. a hat ein multiplikativ Inverses in R => R ist Körper.
VG
Fry
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Oh mein Gott bin ich blöd. Das kapier ich.
Danke Fry! Und danke Andreas für deine Geduld!!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:09 Mo 12.11.2007 | | Autor: | Kyrill |
Hallo,
danke für deine schnelle Antwort!
Also ich weiß, dass die fehlende Bedingung von einem kommutativen Ring zu einem Körper das Inverse Element bzgl. der Multiplikation fehlt.
Ich muss wohl aus der Beziehung, dass es zu jedem beliebigen Polynom aus R[X] ein Element aus R gibt, dass eine Nullstelle ist. Aber ich verstehe nicht wie ich daraus auf das Inverse schließen soll. Da ja das neutrale Element der Multiplikation 1 und nicht 0 ist.
Gruß
Kyrill
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:15 Mo 12.11.2007 | | Autor: | andreas |
hi
> Also ich weiß, dass die fehlende Bedingung von einem
> kommutativen Ring zu einem Körper das Inverse Element bzgl.
> der Multiplikation fehlt.
> Ich muss wohl aus der Beziehung, dass es zu jedem
> beliebigen Polynom aus R[X] ein Element aus R gibt, dass
> eine Nullstelle ist. Aber ich verstehe nicht wie ich daraus
> auf das Inverse schließen soll. Da ja das neutrale Element
> der Multiplikation 1 und nicht 0 ist.
schreib doch mal formal die bedingung auf, dass jedes nicht $0$-element invertierbar ist. lässt sich daraus vielleicht eine polynomielle bedingung aufstellen?
grüße
andreas
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:12 Mo 12.11.2007 | | Autor: | Kyrill |
Mmmh, ich weiß jetzt gar nicht wo ich meine Frage stellen soll...
Also meiner Meinung nach ist die einzige Bedingung, dass ein Element dann schon invertierbar ist, wenn ein neutrales Element existiert und natürlich muss auch ein Inverses existieren. Aber das ist ja gerade das was ich noch zeigen muss. Ich steh da leider total auf dem Schlauch... :(
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:13 Mo 12.11.2007 | | Autor: | andreas |
hi
wie gesagt: schribe mal formal auf, dass $a [mm] \in [/mm] R [mm] \setminus \{0 \}$ [/mm] invertierbar ist...
grüße
andreas
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