Integrierung von ln(X) < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:24 Mo 06.12.2004 | | Autor: | Blacky |
Folgende Aufgabe habe ich als Hausaufgabe aufbekommen, unser Lehrer hat gesagt wir müssten bei dieser Nummer ein bisschen nachdenken. Aber seit 20 Minuten ist dabei nichts raus gekommen :
[mm] \integral_{e}^{e²} {\bruch{4}{x*ln(x)} dx}
[/mm]
Ich habe ein bisschen im Internet recherchiert und herausgefunden, dass
[mm]x * ln(x) - x[/mm] die Stammfunktion von ln(x) ist. Nach den logarithmus Regeln dürfte ich die Funktion f ja auch als [mm] \bruch{4}{ln(x^x)} [/mm] schreiben, aber ich finde keinen Denkansatz wie ich weiter vorgehen kann.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:47 Mo 06.12.2004 | | Autor: | Loddar |
Hallo Blacky,
[mm]\integral_{e}^{e²} {\bruch{4}{x*ln(x)} dx}[/mm]
>
> Ich habe ein bisschen im Internet recherchiert und
> herausgefunden, dass
> [mm]x * ln(x) - x[/mm] die Stammfunktion von ln(x) ist. Nach den
> logarithmus Regeln dürfte ich die Funktion f ja auch als
> [mm]\bruch{4}{ln(x^x)}[/mm] schreiben, aber ich finde keinen
> Denkansatz wie ich weiter vorgehen kann.
Für diese Aufgabe benötigst keine der beiden Ansätze.
Der Trick besteht hier in eine geänderten Darstellung und einer anschließenden Substitution:
[mm]\integral_{e}^{e²} {\bruch{4}{x*ln(x)} dx}[/mm]
[mm]= 4 * \integral_{e}^{e²} {\bruch{\bruch{1}{x}}{ln(x)} dx}[/mm]
Nun muß man halt sehen, daß wir einen Bruch haben, in dem der Zähler genau der Ableitung des Nenners steht!
Durch eine geeignete Substitution erhalten wir:
$z := ln(x)$
$z' = [mm] \bruch{dz}{dx} [/mm] = [mm] \bruch{1}{x} \gdw [/mm] dx = x * dz$
[mm]= 4 * \integral_{e}^{e²} {\bruch{\bruch{1}{x}}{z} * x * dz}[/mm]
Kommst Du nun alleine weiter?
Grüße Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:58 Mo 06.12.2004 | | Autor: | Blacky |
Also das mit dem Vorziehen eines Faktors haben wir gemacht. Ich gebe mal ein Beispiel:
[mm] \integral_{0}^{2} {\bruch{4}{2x+5} dx}
[/mm]
Hier würde ich nun den Faktor 2 vor das Integral ziehen, damit ich im Zähler die Ableitung des Nenners habe. Als Stammfunktion bekomme ich dann 2*[ ln(2x+5)]
Die Substitution behandeln wir jedoch erst in den nächsten Stunden, weshalb ich glaube, dass die Aufgabe auch ohne Substitution lösbar sein kann.
[mm]$ = 4 \cdot{} \integral_{e}^{e²} {\bruch{\bruch{1}{x}}{ln(x)} dx} $[/mm]
Bis hier hin sieht das doch super aus ! In meinem schlauen Mathematikbuch bin ich jetzt auf folgendes gestoßen: Satz3: Eine Stammfunktion der Funktion f mit [mm] f(x) = \bruch{u'(x)}{u(x)}[/mm] ist die Funktion F mit [mm] F(x)= ln(|u(x)|) [/mm]
Dann wäre in unserem Beispiel die Stammfunktion ln (ln(x)) ???
Und an der Stelle kommt man nun ohne Substitution nicht weiter ?
HMMMM :-( Fragen über Fragen !
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:31 Mo 06.12.2004 | | Autor: | Loddar |
> Also das mit dem Vorziehen eines Faktors haben wir gemacht.
> Ich gebe mal ein Beispiel:
>
> [mm]\integral_{0}^{2} {\bruch{4}{2x+5} dx}
[/mm]
>
> Hier würde ich nun den Faktor 2 vor das Integral ziehen,
> damit ich im Zähler die Ableitung des Nenners habe. Als
> Stammfunktion bekomme ich dann 2*[ ln(2x+5)]
Richtig!! Bitte in der ln-Funktion die Betragsstriche nicht vergessen!
(siehe auch Deine Formel unten.)
> Die Substitution behandeln wir jedoch erst in den nächsten
> Stunden, weshalb ich glaube, dass die Aufgabe auch ohne
> Substitution lösbar sein kann.
Das wusste ich nicht 
> [mm]$ = 4 \cdot{} \integral_{e}^{e²} {\bruch{\bruch{1}{x}}{ln(x)} dx} $[/mm]
>
> Bis hier hin sieht das doch super aus ! In meinem schlauen
> Mathematikbuch bin ich jetzt auf folgendes gestoßen: Satz3:
> Eine Stammfunktion der Funktion f mit [mm]f(x) = \bruch{u'(x)}{u(x)}[/mm]
> ist die Funktion F mit [mm]F(x)= ln(|u(x)|)[/mm]
>
> Dann wäre in unserem Beispiel die Stammfunktion ln (ln(x))
> ???
Fast: Du hast noch den Faktor 4 unterschlagen.
> Und an der Stelle kommt man nun ohne Substitution nicht
> weiter ?
Wieso? Du bist doch fast fertig: Nur noch Integrationsgrenzen einsetzen!
Richtig ist: die Herleitung der o.g. Integrationsformel ist nur über Substitution möglich (soweit ich weiß ...).
Wenn Ihr aber diese Formel anwenden dürft, ist ja alles klar!!
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:21 Mo 06.12.2004 | | Autor: | Blacky |
Ok, danke für deine Hilfe, dann weiss ich jetzt soweit bescheid !
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