Integrierender Faktor < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:48 Sa 01.08.2009 | | Autor: | tony90 |
| Aufgabe | Hallo, folgende nicht exakte DGL ist zu lösen:
[mm] \11+xy [/mm] = [mm] (x^2+x^3y)*y' [/mm] |
habe hier zuerst auf potential überprüft....
[mm] \bruch{df}{dy} [/mm] = [mm] \1x
[/mm]
[mm] \bruch{dg}{dx} [/mm] = [mm] \12x+3x^2y
[/mm]
was leider nicht das gleiche ist.
jetzt suche ich den integrierenden faktor (möglichst einfach natürlich)
habe also folgendes gemacht:
[mm] \bruch{\lambda'(x)}{\lambda(x)} [/mm] = [mm] \bruch{\bruch{df}{dy} - \bruch{dg}{dx}}{g(x,y)} [/mm] = [mm] \bruch{-1-3xy}{x+x^2y}
[/mm]
und
[mm] \bruch{\lambda'(y)}{\lambda(y)} [/mm] = [mm] \bruch{\bruch{dg}{dx} - \bruch{df}{dy}}{f(x,y)} [/mm] = [mm] \bruch{x+3x^2y}{1+xy}
[/mm]
aber oHH schreck:
die faktoren hängen ja von X und Y AB!!! -->>> also partielle DGL
wer kann mir verraten wie ich hier durch scharfes hinsehen oder mathematisches glück auf den integrierenden faktor komme?
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> [mm]\11+xy[/mm] = [mm](x^2+x^3y)*y'[/mm]
Hallo, klammere rechts mal [mm] x^2 [/mm] aus, dann fällt die weitere Lösung leicht ...
MfG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:34 Sa 01.08.2009 | | Autor: | tony90 |
ok,... sehe ich ein
hätte da aber noch die frage wie ich das angehe, wenn ich diese obige vereinfachung nicht sehe? (also so wie ich ;) )
wie ist es dann möglich nen integrierenden faktor zu finden wenn X und Y auftauchen?
danke
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Hallo tony90,
> ok,... sehe ich ein
>
> hätte da aber noch die frage wie ich das angehe, wenn ich
> diese obige vereinfachung nicht sehe? (also so wie ich ;)
> )
>
> wie ist es dann möglich nen integrierenden faktor zu
> finden wenn X und Y auftauchen?
Dann mußt Du eine Annahme über den integrierenden Faktor treffen.
Beispiel: Der integrierende Faktor enthält nur xy:
Dann ist [mm]\mu\left(x,y\right)=\mui\left( \ z\left(x,y\right) \ \right)[/mm], wobei [mm]z\left(x,y\right)=x*y[/mm] ist.
Außerdem kannst Du dann die partiellen Ableitungen [mm]\mu_{x}, \ \mu_{y}[/mm] ersetzen,
denn nach der Kettenregel gilt:
[mm]\mu_{x}=\bruch{\partial \mu}{\partial x}=\bruch{\partial \mu}{\partial z}\bruch{\partial z}{\partial x}=\mu_{z}*z_{x}[/mm]
[mm]\mu_{y}=\bruch{\partial \mu}{\partial y}=\bruch{\partial \mu}{\partial z}\bruch{\partial z}{\partial y}=\mu_{z}*z_{y}[/mm]
Hier im Beispiel ist dann:
[mm]\mu_{x}=\mu_{z}*z_{x}=\mu_{z}*y[/mm]
[mm]\mu_{y}=\mu_{z}*z_{y}=\mu_{z}*x[/mm]
>
> danke
Gruß
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:15 So 02.08.2009 | | Autor: | tony90 |
jo vielen dank jetzt wirds mir um einiges klarer,...
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Hallo tony90,
> Hallo, folgende nicht exakte DGL ist zu lösen:
>
> [mm]\11+xy[/mm] = [mm](x^2+x^3y)*y'[/mm]
> habe hier zuerst auf potential überprüft....
>
>
> [mm]\bruch{df}{dy}[/mm] = [mm]\1x[/mm]
>
> [mm]\bruch{dg}{dx}[/mm] = [mm]\12x+3x^2y[/mm]
>
> was leider nicht das gleiche ist.
>
> jetzt suche ich den integrierenden faktor (möglichst
> einfach natürlich)
>
> habe also folgendes gemacht:
>
> [mm]\bruch{\lambda'(x)}{\lambda(x)}[/mm] = [mm]\bruch{\bruch{df}{dy} - \bruch{dg}{dx}}{g(x,y)}[/mm]
> = [mm]\bruch{-1-3xy}{x+x^2y}[/mm]
>
> und
>
> [mm]\bruch{\lambda'(y)}{\lambda(y)}[/mm] = [mm]\bruch{\bruch{dg}{dx} - \bruch{df}{dy}}{f(x,y)}[/mm]
> = [mm]\bruch{x+3x^2y}{1+xy}[/mm]
>
> aber oHH schreck:
>
> die faktoren hängen ja von X und Y AB!!! -->>> also
> partielle DGL
>
>
> wer kann mir verraten wie ich hier durch scharfes hinsehen
> oder mathematisches glück auf den integrierenden faktor
> komme?
>
In diesem Artikel steht drin, wie du zu
einem integrierenden Faktor kommst.
Gruß
MathePower
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