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Forum "Integration" - Integrieren eines Bruches

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Integrieren eines Bruches: arctan als Lösung

Status:	(Frage) beantwortet
Datum:	21:40 So 08.04.2007
Autor:	barsch

Aufgabe

 Berechne [mm] \integral{ \bruch{1}{x^{2}+2x+2}dx}. [/mm] 

Hi,

frohe Ostern wünsche ich noch...

Die Aufgabe will mir einfach nicht in den Kopf

Ich weiß, dass [mm] \integral{ \bruch{1}{x^{2}+2x+2}dx}=arctan(x+1). [/mm]

Aber wie komme ich darauf? Ich habe zuerst versucht, zu substituieren. Erfolg gleich 0.

Mir geht das generell bei Brüchen so, die beim Integrieren auf den arctan(x) hinauslaufen.

Kennt vielleicht jmd. eine Internetseite, auf der das gut erklärt ist? Bücher, wie z.B. Königsberger, sind in der Richtung etwas dürftig gehalten.
Oder kann mir evtl. jmd. dieses Beispiel so gut erklären, dass ich anhand der Lösung zu diesem Beispiel das Prinzip verstehe? :-)

Danke.

MfG

Bezug

Integrieren eines Bruches: Antwort

Status:	(Antwort) fertig
Datum:	21:57 So 08.04.2007
Autor:	Kroni

Hi,

die Ableitung des arcus Tangens ist ja [mm] (arctan(x))'=\bruch{1}{x^2+1} [/mm]

Jetzt kann man den Nenner deiner Funktion ja noch etwas umformen (weil da ist ja etwas quadratisches, dann kann man mal mit der quad. Ergänzung rangehen):

[mm] x^2+2x+2 [/mm] = [mm] x^2+2x [/mm] + [mm] 1^2 -1^2 [/mm] +2 [mm] =(x+1)^2+1 [/mm]

Nun hast du einen Bruch der Form [mm] \bruch{1}{x^2+1} [/mm] vorliegen.

Irgendetwas mit [mm] x^2 [/mm] (in diesem Fall haste ja das x+1 in der Klammer zum quadrat) +1.

Wenn du dann eine solche Form siehst, sollte dir dann der Arcus Tangens einfallen als SF.

Man braucht dann den Blick, dass ein Bruch der Form [mm] \bruch{1}{x^2+1} [/mm] etwas mit dem Arcus Tangens zu tun hat.

So sieht man dann relativ leicht, dass ich ja anstatt des x in deiner Funktion x+1 stehen habe.
So kann ich dann schreiben, dass die SF zu deinem Bruch arctan(x+1) ist, da ja die innere Ableitung gerade 1 ergibt.

Wie gesagt, du brauchst einfach den Blick dafür:

Ein Bruch der Form

[mm] \bruch{1}{x^2+1} [/mm] , wobei für das x natürlich auch soaws wie (x+1) oder (x-2) oder (5x+3), wobei du hier die innere Ableitung noch "ausgleichen" musst, auf den arcus Tangens als SF hinauslaufen.

Viele Grüße,

Kroni