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Integrieren: Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:23 Sa 26.06.2010
Autor: SnafuBernd

Aufgabe
[mm] \integral_{}^{}{\frac{1}{sin(x)} dx} [/mm] , sin(x) = [mm] \frac{2tan(0.5x)}{1+tan^2(0.5x)} [/mm]

Hi,

haben die sinus-Umformung verwendet, komme jedoch nicht weiter:
[mm] \integral_{}^{}{\frac{1+tan^2(0.5x)}{2tan(0.5x)} dx}, [/mm] t:= tan(0.5x)
[mm] =\integral_{}^{}{\frac{1+t^2}{2t}\frac{1}{1+t} dx} [/mm] =
[mm] \integral_{}^{}{\frac{1}{2}\frac{1+t^2}{t+t^2} dx} [/mm] wenn ich jetzt [mm] \frac{1+t^2} [/mm] =: u definiere dann wird [mm] {t+t^2} [/mm] durch integrieren wieder in mehrere Terme umgewandelt... andersrum genauso..ist die Substitution nicht gut gewählt?

Snafu

        
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Integrieren: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:37 Sa 26.06.2010
Autor: weduwe


> [mm]\integral_{}^{}{\frac{1}{sin(x)} dx}[/mm] , sin(x) =
> [mm]\frac{2tan(0.5x)}{1+tan^2(0.5x)}[/mm]
>  Hi,
>  
> haben die sinus-Umformung verwendet, komme jedoch nicht
> weiter:
>  [mm]\integral_{}^{}{\frac{1+tan^2(0.5x)}{2tan(0.5x)} dx},[/mm] t:=
> tan(0.5x)
>  [mm]=\integral_{}^{}{\frac{1+t^2}{2t}\frac{1}{1+t} dx}[/mm] =
>  [mm]\integral_{}^{}{\frac{1}{2}\frac{1+t^2}{t+t^2} dx}[/mm] wenn
> ich jetzt [mm]\frac{1+t^2}[/mm] =: u definiere dann wird [mm]{t+t^2}[/mm]
> durch integrieren wieder in mehrere Terme umgewandelt...
> andersrum genauso..ist die Substitution nicht gut
> gewählt?
>  
> Snafu


das ist schon (fast) die richtige substitution.
t = [mm] tan\frac{x}{2} [/mm] ergibt

[mm] sinx=\frac{2t}{1+t^2} [/mm] und [mm] dx=\frac{2\cdot dt}{1+t^2} [/mm]

wenn du nun einsetzt, bleibt fast nix mehr übrig :-)

Bezug
                
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Integrieren: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:50 Sa 26.06.2010
Autor: SnafuBernd

Hi,

> [mm] dx=\frac{2\cdot dt}{1+t^2} [/mm]

ich habe da folgendes:
t:= [mm] tan(\frac{x}{2}) [/mm] => dt= 1 + [mm] tan^2(\frac{x}{2}) [/mm] dx <=> dx= [mm] \frac{dt}{1 + tan^2(\frac{x}{2})} [/mm] mit x = 2arctan(t) folgt dx = [mm] \frac{1}{1+t^2}, [/mm] wo ist mein Fehler?

habe jetzt mal mit meiner Version gerechnet:
dann kriege ich durch die Substitution: [mm] \integral_{}^{}{\frac{1+t^2}{2t}\frac{1}{1+t^2} dx} =\integral_{}^{}{\frac{1}{2t} dx}=\frac{1}{2} [/mm] ln(t) = [mm] \frac{1}{2} ln(tan(\frac{x}{2}) [/mm] = [mm] \frac{1}{2}(ln(sin(\frac{x}{2}) [/mm] - [mm] ln(cos(\frac{x}{2})) [/mm]
...jetzt soll da aber [mm] ln(2sin(\frac{x}{2}) [/mm] - [mm] ln(2cos(\frac{x}{2}) [/mm] rauskommen?

Snafu

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Integrieren: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:23 Sa 26.06.2010
Autor: MathePower

Hallo SnafuBernd,


> Hi,
>  
> > [mm]dx=\frac{2\cdot dt}{1+t^2}[/mm]
>  ich habe da folgendes:
>  t:= [mm]tan(\frac{x}{2})[/mm] => dt= 1 + [mm]tan^2(\frac{x}{2})[/mm] dx <=>

> dx= [mm]\frac{dt}{1 + tan^2(\frac{x}{2})}[/mm] mit x = 2arctan(t)
> folgt dx = [mm]\frac{1}{1+t^2},[/mm] wo ist mein Fehler?


Hier muss [mm]dx=\bruch{\red{2}}{1+t^{2}} \ dt [/mm] sein.



>  
> habe jetzt mal mit meiner Version gerechnet:
>  dann kriege ich durch die Substitution:
> [mm]\integral_{}^{}{\frac{1+t^2}{2t}\frac{1}{1+t^2} dx} =\integral_{}^{}{\frac{1}{2t} dx}=\frac{1}{2}[/mm]
> ln(t) = [mm]\frac{1}{2} ln(tan(\frac{x}{2})[/mm] =
> [mm]\frac{1}{2}(ln(sin(\frac{x}{2})[/mm] - [mm]ln(cos(\frac{x}{2}))[/mm]
>  ...jetzt soll da aber [mm]ln(2sin(\frac{x}{2})[/mm] -
> [mm]ln(2cos(\frac{x}{2})[/mm] rauskommen?


Es gilt :

[mm]ln(tan(\frac{x}{2}))=ln(\bruch{\sin\left(\bruch{x}{2}\right)}{\cos\left(\bruch{x}{2}\right)})=ln(\bruch{a*\sin\left(\bruch{x}{2}\right)}{a*\cos\left(\bruch{x}{2}\right)})=\ln\left(a*\sin\left(\bruch{x}{2}\right)\right)-\ln\left(a*\cos\left(\bruch{x}{2}\right)\right)[/mm]

mit [mm]a \not= 0[/mm].


>  
> Snafu


Gruss
MathePower

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Integrieren: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:08 So 27.06.2010
Autor: SnafuBernd

Hi,

> Hier muss [mm]dx=\bruch{\red{2}}{1+t^{2}} \ dt [/mm] sein.

woher kommt den die 2 im Zähler? Ich sehe es nicht und bei meiner Umformung im letzten Post , kommt keine auf?

> [mm] ln(tan(\frac{x}{2}))=ln(\bruch{\sin\left(\bruch{x}{2}\right)}{\cos\left(\bruch{x}{2}\right)})=ln(\bruch{a*\sin\left(\bruch{x}{2}\right)}{a*\cos\left(\bruch{x}{2}\right)})=\ln\left(a*\sin\left(\bruch{x}{2}\right)\right)-\ln\left(a*\cos\left(\bruch{x}{2}\right)\right) [/mm]

kannst du mir sagen woher das a kommt, weil darauf kommt es mir ja genau an, aber hier taucht es plötzlich auf und ich verstehe nicht woher es kommt?

Snafu

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Integrieren: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:46 So 27.06.2010
Autor: MathePower

Hallo SnafuBernd,

> Hi,
>  

> > Hier muss [mm]dx=\bruch{\red{2}}{1+t^{2}} \ dt[/mm] sein.
> woher kommt den die 2 im Zähler? Ich sehe es nicht und bei
> meiner Umformung im letzten Post , kommt keine auf?


Nun, die "2" konmt daher, wenn Du

[mm]x=2*\operatorname{arctan} \left(t\right)[/mm]

nach t differenzierst.


>  >

> [mm]ln(tan(\frac{x}{2}))=ln(\bruch{\sin\left(\bruch{x}{2}\right)}{\cos\left(\bruch{x}{2}\right)})=ln(\bruch{a*\sin\left(\bruch{x}{2}\right)}{a*\cos\left(\bruch{x}{2}\right)})=\ln\left(a*\sin\left(\bruch{x}{2}\right)\right)-\ln\left(a*\cos\left(\bruch{x}{2}\right)\right)[/mm]
>  
> kannst du mir sagen woher das a kommt, weil darauf kommt es
> mir ja genau an, aber hier taucht es plötzlich auf und ich
> verstehe nicht woher es kommt?


Der Wert eines Bruches bleibt natürlich erhalten, wenn man ihn  mit
[mm]\bruch{1}{1}, \ \bruch{2}{2}, \ \bruch{3}{3}[/mm] usw. multipliziert.

Allgemein bleibt der Werte eines Bruches erhalten, wenn man ihn mit [mm]\bruch{a}{a}, \ a \not= 0[/mm] multipliziert.


>  
> Snafu


Gruss
MathePower

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Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:17 So 27.06.2010
Autor: SnafuBernd

Hi,

irgendwie blicke ich grad nicht, also wenn ich substituiere setze ich t:= [mm] tan(\frac{x}{2}) [/mm] damit ist dt = [mm] 1+tan^2(\frac{x}{2})dx [/mm]
und das ist <=> dx = [mm] \frac{1}{1+tan^2(\frac{x}{2})}dt [/mm] nun setze ich für x = artan(t)*2 ein, woraus folgt [mm] dx=\frac{1}{1+tan^2(actan(t))}dt =\frac{1}{1+t^2}dt, [/mm] wo ist mein Fehler?

Snafu

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Integrieren: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:27 So 27.06.2010
Autor: MathePower

Hallo SnafuBernd,

> Hi,
>  
> irgendwie blicke ich grad nicht, also wenn ich substituiere
> setze ich t:= [mm]tan(\frac{x}{2})[/mm] damit ist dt =
> [mm]1+tan^2(\frac{x}{2})dx[/mm]


Hier hast Du die innere Ableitung von  [mm]tan(\frac{x}{2})[/mm] vergessen.

Daher muss es

[mm]dt= \red{\bruch{1}{2}} \left(1+tan^2(\frac{x}{2})\right) \ dx[/mm]

lauten.


> und das ist <=> dx = [mm]\frac{1}{1+tan^2(\frac{x}{2})}dt[/mm] nun
> setze ich für x = artan(t)*2 ein, woraus folgt
> [mm]dx=\frac{1}{1+tan^2(actan(t))}dt =\frac{1}{1+t^2}dt,[/mm] wo ist
> mein Fehler?
>  
> Snafu


Gruss
MathePower

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Integrieren: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:50 So 27.06.2010
Autor: SnafuBernd

Ah ok. Danke!

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Integrieren: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:39 Sa 26.06.2010
Autor: fencheltee


> [mm]\integral_{}^{}{\frac{1}{sin(x)} dx}[/mm] , sin(x) =
> [mm]\frac{2tan(0.5x)}{1+tan^2(0.5x)}[/mm]

wenn du den sinus mit dem theorem ersetzt, wirst du sehen, dass die ableitung des nenners im zähler steht. und was bedeutet das? ;-)

>  Hi,
>  
> haben die sinus-Umformung verwendet, komme jedoch nicht
> weiter:
>  [mm]\integral_{}^{}{\frac{1+tan^2(0.5x)}{2tan(0.5x)} dx},[/mm] t:=
> tan(0.5x)
>  [mm]=\integral_{}^{}{\frac{1+t^2}{2t}\frac{1}{1+t} dx}[/mm] =
>  [mm]\integral_{}^{}{\frac{1}{2}\frac{1+t^2}{t+t^2} dx}[/mm] wenn
> ich jetzt [mm]\frac{1+t^2}[/mm] =: u definiere dann wird [mm]{t+t^2}[/mm]
> durch integrieren wieder in mehrere Terme umgewandelt...
> andersrum genauso..ist die Substitution nicht gut
> gewählt?
>  
> Snafu

gruß tee

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Integrieren: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:05 Sa 26.06.2010
Autor: SnafuBernd

Hi,

kommt grad nicht drauf, was ich aus [mm] \frac{f}{f'} [/mm] erkennen kann, bzw. wie das beim Integrieren hilft?

Snafu

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Integrieren: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:40 Sa 26.06.2010
Autor: fencheltee


> Hi,
>  
> kommt grad nicht drauf, was ich aus [mm]\frac{f}{f'}[/mm] erkennen
> kann, bzw. wie das beim Integrieren hilft?
>  
> Snafu

ich meinte [mm] \int\frac{f'}{f} [/mm]
und das ergibt ln|f|

gruß tee

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