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| Aufgabe | Ermitteln Sie die Stammfunktion folgenden Integrals:
int [mm] [(6*x)/(sqrt(4-x^2))] [/mm] dx |
Wie kann ich dieses Integral lösen? Ich hab schon versucht, die Wurzel durch eine Substitution zu ersetzen (also z = wurzelausdruck), aber ich kriege das einfach nicht hin.
Alternativ habe ich partielle Integration versucht, indem ich die Wurzel als Potenz geschrieben habe [mm] (4-x^2)^{1/2} [/mm] ... Ich komme da zwar auf eine Lösung, aber mein Taschenrechner gibt mir was ganz anderes und vor allem viel einfacheres aus:
[mm] -6*(4-x^2)^{1/2}
[/mm]
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Kann mir jemand helfen? Kann einem vielleicht weiterhelfen, dass [mm] 4-x^2 [/mm] eine Art binomische Formel ist?
Tobias
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[mm]z = \text{Wurzelausdruck} = 4-x^2[/mm]
Das ist genau die richtige Idee, und sie führt auch ohne Umwege sofort zum Ziel. Wenn das bei dir nicht so ist, mußt du dich verrechnet oder etwas Simples übersehen haben ...
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| Aufgabe | Ermitteln Sie die Stammfunktion folgenden Integrals:
int [mm] x/(\wurzel{3x^{2}-4x-5}) [/mm] dx |
Bei dieser Aufgabe habe ich den Wurzelausdruck durch z ersetzt, also [mm] z=3x^{2}-4x-5
[/mm]
Aber das hilft irgendwie nicht weiter, weil sich dadurch im Hilfsintegral mit dz nicht die "x-Koeffizienten" kürzen lassen.
Gibt es eine Alternative zur Substitutionsregel? Geht das evtl. über partielle Integration?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:23 Di 06.06.2006 | | Autor: | Herby |
Hallo kiltswitch,
> Ermitteln Sie die Stammfunktion folgenden Integrals:
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> int [mm]x/(\wurzel{3x^{2}-4x-5})[/mm] dx
> Bei dieser Aufgabe habe ich den Wurzelausdruck durch z
> ersetzt, also [mm]z=3x^{2}-4x-5[/mm]
>
> Aber das hilft irgendwie nicht weiter, weil sich dadurch im
> Hilfsintegral mit dz nicht die "x-Koeffizienten" kürzen
> lassen.
>
> Gibt es eine Alternative zur Substitutionsregel? Geht das
> evtl. über partielle Integration?
- wenn, dann über partielle Integration, hoffe ich.
Lösung:
[mm] F(x)=\bruch{ln|3x²-4x-5|}{6}-\bruch{2*\wurzel{19}*tanh^{-1}*(\bruch{\wurzel{19}*(3x-2)}{19})}{57}
[/mm]
hab es aber selbst noch nicht ausprobiert 
hier noch eine Darstellung deiner Funktion
[Dateianhang nicht öffentlich]
Liebe Grüße
Heby
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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Da ich die ganzen Tricks nicht im Zwiegespräch erläutern will - das würde ewig dauern - hier die Musterlösung. Und wenn du die siehst, weißt du auch, warum so lange niemand geantwortet hat ...
[mm]\int~\frac{x}{\sqrt{3x^2 - 4x - 5}}~\mathrm{d}x = \ \frac{1}{6} \int~\frac{6x}{\sqrt{3x^2 - 4x - 5}}~\mathrm{d}x = \frac{1}{6} \int~\frac{6x - 4 + 4}{\sqrt{3x^2 - 4x - 5}}~\mathrm{d}x[/mm]
[mm]= \frac{1}{6} \int~\frac{6x - 4}{\sqrt{3x^2 - 4x - 5}}~\mathrm{d}x + \frac{2}{3} \int~\frac{\mathrm{d}x }{\sqrt{3x^2 - 4x - 5}} = \frac{1}{3} \, \sqrt{3x^2 - 4x - 5} + \frac{2}{3} \int~\frac{\mathrm{d}x }{\sqrt{3x^2 - 4x - 5}}[/mm]
[mm]\frac{2}{3} \int~\frac{\mathrm{d}x }{\sqrt{3x^2 - 4x - 5}} = \frac{2}{3} \int~\frac{\mathrm{d}x }{\sqrt{3 \left( x - \frac{2}{3} \right)^2 - \frac{19}{3}}} = \frac{2}{3} \int~\frac{\mathrm{d}x }{\sqrt{ \frac{19}{3} \left( \frac{9}{19} \left( x - \frac{2}{3} \right)^2 - 1 \right)}}[/mm]
Substitution: [mm]\frac{3}{\sqrt{19}} \left( x - \frac{2}{3} \right) = t \, , \ \ \mathrm{d}x = \frac{\sqrt{19}}{3} \, \mathrm{d}t[/mm]
[mm]\frac{2}{3} \int~\frac{\mathrm{d}x }{\sqrt{3x^2 - 4x - 5}} = \frac{2 \sqrt{3}}{9} \int~\frac{\mathrm{d}t}{\sqrt{t^2 - 1}} = \frac{2 \sqrt{3}}{9} \operatorname{arcosh}{t} = \frac{2 \sqrt{3}}{9} \operatorname{arcosh}{\left( \frac{3}{\sqrt{19}} \left( x - \frac{2}{3} \right) \right)}[/mm]
[mm]\int~\frac{x}{\sqrt{3x^2 - 4x - 5}}~\mathrm{d}x = \frac{1}{3} \, \sqrt{3x^2 - 4x - 5} + \frac{2 \sqrt{3}}{9} \operatorname{arcosh}{\left( \frac{1}{\sqrt{19}} \left( 3x - 2 \right) \right)}[/mm]
gültig für [mm]t \geq 1[/mm] , d.h. [mm]x \geq \frac{1}{3} \left( \sqrt{19} + 2 \right)[/mm]
zu ![[]](/images/popup.gif) arcosh und zum Integrator
Was für einen Sinn solche Aufgaben haben - diese Frage darf man sich schon stellen ...
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:22 So 04.06.2006 | | Autor: | kiltswitch |
| Aufgabe | Ermitteln Sie die Stammfunktion folgenden Integrals:
int [x/( [mm] \wurzel{3x^{2}-4x-5})] [/mm] dx |
Bei dieser Aufgabe habe ich den Wurzelausdruck durch z ersetzt, also
Aber das hilft irgendwie nicht weiter, weil sich dadurch im Hilfsintegral mit dz nicht die "x-Koeffizienten" kürzen lassen.
Gibt es eine Alternative zur Substitutionsregel? Geht das evtl. über partielle Integration?
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