Integrieren < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:26 Mo 30.01.2006 | | Autor: | chriskde |
| Aufgabe | Guten Morgen! Hoffe mir kann jemand bei diesem Problem helfen:
[mm] f(x)= \bruch{x^2}{\wurzel{x+2}} [/mm]
|
Also ich kenne drei Möglichkeiten zu integrieren:
Einmal ganz normal, wenn es eine Fkt ist die aus Summen besteht.
Dann eine Funktion die ich in der Form f(x)*g'(x) schreibe und partiell integriere nach [mm] f(x)*g(x)- \integral f'(x)*g(x) [/mm]
Und durch Substitution.... Diese Aufgabe lässt sich wohl durch Substitution lösen, aber ich habe damit einfach Riesenprobleme und weiß nie wie ich damit anfangen soll. Ich weiß nur, dass ich durch Umformen irgednwie erreichen muss, dass das Differential von z(Substituionsvariable) = gleich einem Fkt in der Gleichung sein muss. Also ihr seht ich habe so gut wie keine Ahnung wie ich mit der Substitution umgehen soll. Wäre nett, wenn mir jemand anhand eines Beispiels, das kurz erläutern könnte !
Vielen Dank!
|
|
| |
|
Hallo!
Probier doch mal die Substitution [mm] $t=\sqrt{x+2}$...
[/mm]
Gruß, banachella
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:03 Mo 30.01.2006 | | Autor: | chriskde |
| Aufgabe | Danke für die schnelle Antwort.
Das ist genau mein Problem, ich substituiere und dann weiß ich nicht was ich machen soll, wann sehe ich wann ich substituieren kann? Ich muss doch durch die Substitution von f(g(x))*g(x) auf das Integral von f(z)kommen, damit ich ich nur f(z) integrieren muss und dann für z wieder den Urpsrungswert einsetze...
|
Eigentlich kann ich doch nur x+2 substituieren? dass nur noch da steht :
[mm] \bruch {x}{\wurzel {z}} [/mm] ?
Kann ich den Bruch auch so darstellen = [mm] x*(x+2)^{0,5} [/mm] ?
Und dann über partielle Integration weitermachen?
|
|
|
| |
|
Hallo!
> Eigentlich kann ich doch nur x+2 substituieren? dass nur
> noch da steht :
> [mm]\bruch {x}{\wurzel {z}}[/mm] ?
Anscheinend hast du meinen Tipp nicht ganz verstanden. Nicht die Substitution $t=x+2$ führt zum Ziel, sondern die Substitution [mm] $t=\sqrt{x+2}$. [/mm] Dann gilt [mm] $dt=\bruch 12\bruch 1{\sqrt{x+2}}dx$...
[/mm]
Generell gibt es keine Regel, was man substituieren muss. Da hilft wohl nur Erfahrung und Intuition. ![[sorry]](/images/smileys/sorry.gif "[sorry]")
Gruß, banachella
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 14:05 Mo 30.01.2006 | | Autor: | chriskde |
| Aufgabe | Irgendwie stelle ich mich gerade sehr dumm an. WARUM substituiere ich gerade [mm] \wurzel{x+2} [/mm] ???
|
Was erreiche ich dadurch? Wenn ich partielle DIFFERENZIERE, differenziere ich beide Teile(die Substitutionsvariable und f(z))...
Wäre nett, wenn mir jemand eine Erklärung für die Integration durch Substitution gibt.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:34 Mo 30.01.2006 | | Autor: | Disap |
Guten Morgen.
Ich weise noch mal auf den Satz von banachella hin: "Generell gibt es keine Regel, was man substituieren muss. Da hilft wohl nur Erfahrung und Intuition. " Der entspricht der Wahrheit.
> Irgendwie stelle ich mich gerade sehr dumm an. WARUM
> substituiere ich gerade [mm]\wurzel{x+2}[/mm] ???
>
>
> Was erreiche ich dadurch? Wenn ich partielle DIFFERENZIERE,
> differenziere ich beide Teile(die Substitutionsvariable und
> f(z))...
> Wäre nett, wenn mir jemand eine Erklärung für die
> Integration durch Substitution gibt.
Während ich hier so rumrechne, habe ich mich gerade das selbe gefragt, wieso sollte die Substitution z:= x+2 nicht zu Ziel führen? DAbei kam ich auf das Ergebnis, dass die Aussage von banachella:
"Anscheinend hast du meinen Tipp nicht ganz verstanden. Nicht die Substitution $ t=x+2 $ führt zum Ziel"
falsch ist.
Natürlich führt diese zum Ziel.
Du hast folgenden Term:
[mm] \integral_{a}^{b} \bruch{x^2}{(x+2)^{0.5}} [/mm] dx
z:= x+2
z'=1 => dx= [mm] \bruch{dz}{z'}
[/mm]
Daraus folgt, wenn man das jetzt nun einsetzt
= [mm] \integral_{a}^{b} \bruch{x^2}{(z)^{0.5}} [/mm] dz
Folgender Trick ist nun angesagt, der schon recht oft bei Substitution auftritt.
Und zwar hast du im Zähler den Ausdruck [mm] x^2. [/mm] Was nichts anderes ist als [mm] (x)^2 [/mm] oder x*x
Nun stellst du deine Substitution nach x um
z:= x+2
x= z-2 und setzt das ein
= [mm] \integral_{a}^{b} \bruch{(z-2)^{2}}{(z)^{0.5}} [/mm] dz
Klasse, im Zähler steht ein Binom. Naja, da du ein schlaues Kerlchen bist, löse das doch mal auf, kürze nach den Potenzgesetzen [mm] \bruch{z^2}{z^{0.5}} [/mm] usw.
Und integriere dann ganz normal.
Also, lass dich nicht verunsichern, dein Ansatz am Anfang war richtig. (Womit ich jetzt nicht sagen will, dass die Substitution von banachella nicht zum Ziel führt). Im Gegenteil: evtl. ist sie vielleicht einfacher, aber jedem das Seine.
Viele Grüße Disap
|
|
|
|
