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Hallo,
am kommenden Donnerstag schreibe ich eine Mathe-Klausur und mir ist eine (große) Frage aufgekommen. Es gibt ja folgende Integrationsverfahren:
-Integration durch Substitution
-Integrieren mit der Produktregel
-lineare Integration
Unser Lehrer sagte, er würde in seinen Aufgaben nicht verraten, welche verfahren wir anwenden müssen.
Zu der zweiten Regel habe ich eine Theoretische Vorstellung, aber eine Praktische Vorstellng habe ich zu keiner. ich hoffe ihr könnt mir helfen.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Thorben
und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!
Schau mal in unsere Mathebank da finden sich die Regeln wieder! Hier
Noch ein Beispiel zur Substitutionsregel Hier
Du kannst ja dann versuchen ein Beispiel zu jeder Regel machen und wir schauen dann drüber ob du es verstanden hast. Partielle Integration verwendest du bei Produkten. Und die Substitutionsregel meisten bei verketteten Funktionen.
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]") Gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:22 Mo 25.02.2008 | | Autor: | Martinius |
Hallo,
ich vermute, dein Lehrer könnte mit "linearer Funktion" die Integration einer verketteten linearen Funktion meinen.
Also z. B. ein Verkettung mit einer linearen Fnkt. mit einer Potenzfunktion:
[mm] $\integral (r*x+b)^4 \;dx [/mm] = [mm] \bruch{1}{r}*\bruch{1}{5}*(r*x+b)^5+C$
[/mm]
LG, Martinius
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[mm] \integral_{a}^{b}{(rx+b)^4 dx}
[/mm]
hier wüsste ich auf Anhieb nicht, wie ich vorgehen soll. Beim Ableiten würde ich die Kettenregel verwenden, aber beim aufleiten?
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Hallo!
Das kann man mit der Regel der linearen Funktionen verwenden. Es ist [mm] \integral_{a}^{b}{(rx+b) dx}=\bruch{1}{r}*\bruch{1}{5}*(rx+b)^{5}+c
[/mm]
Gruß
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Hallo,
das ist lieb von Dir/euch!
Ich habe 3 Aufgaben gerechnet:
a) [mm] \integral_{a}^{b}{x+e^(3-2x) dx}
[/mm]
->Produkt, daher Produktregel
u=X v=-1/2 *e^(3-2x)
u'=1 v'=e^(3-2x)
Nach der Produktegel ist das Integral= (x*8-1/2e^(3-2x))- [mm] \integral_{a}^{b}{1*1/2e^(3-2x) dx}
[/mm]
= -1/2xe^(3-2x)-(-1/2*-1/2*e^(3-2x))
=-1/2xe^(3-2x)-1/4e^(3-2x)
Die Aufleitung von e's, kann ich nicht mit der Potenzregel lösen, oder? e ist halt etwas besonderes :)
Aufgabe b)
[mm] \integral_{a}^{b}{x^2*sin(1-x) dx}
[/mm]
ist ein Produkt, daher Produktregel
[mm] u=x^2 [/mm] v=-cos(1-x)
u'=2x v'=sin(1-x)
[mm] \integral_{a}^{b}{x^2 * sin(1-x) dx}= (x^2*(-cos(1-x)))-\integral_{a}^{b}{2x*-cos(1-x) dx}
[/mm]
wieder ein Produkt, daher das Ganze von Vorn :)
u=2x v=-sin(1-x)
u'=2 v'=-cos(1-x)
[mm] =(2x*-sin(1-x))-\integral_{a}^{b}{2+(-sin(1-x)) dx}
[/mm]
=-2xsin(1-x)-2*cos(1-x)
->einsetzen
[mm] (x^2 [/mm] *(-cos(1-x)))-(-2xsin(1-x)-2*cos(1-x))
=x^2cos(1-x)+2xsin(1-x)+2cos(1-x)
Aufgabe c)
[mm] \integral_{a}^{b}{(x+1)/(2x+x^2) dx}
[/mm]
->Tippe auf Substitution, aber wieso? Bei Brüchen dieser Form war immer Substitution bisher :)
[mm] t=2x+x^2
[/mm]
[mm] t=x^2+2x
[/mm]
dt/dx=t'=2x+2
dx=dt/2x+2 = 1/(2*(x+1)) *dt
[mm] \integral_{a}^{b}{(x+1)/t * 1/(2*(x+1))*dt dx}
[/mm]
[mm] =1/2\integral_{a}^{b}{1/t dx}
[/mm]
=1/2 ln(t)
[mm] =1/2ln(2x+x^2)
[/mm]
Was hätte ich hier gemacht, wenn es sich nicht weggekürzt hätte?
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Hallo,
Aufgabe a) habe ich mich vertippt, das ist in Wirklichkeit ein Produkt, ich hab aus Versehen + geschrieben.
Ich möchte gerne ae-Funktionen aufleitung, die gleichzeitig eine Schaar darstellen. Habe leider keine Aufgabe dazu gefunden (am besten mehrere, um sich für die richtige Methode zu entscheiden), habt ihr welche?
Schöne Grüße
Thorben
PS: Beim Ableiten habe ich leider ab und an Schwierigkeiten. Die Produkt- und Quotientenregel kenne ich. Wenn eine Funktion z.B: f(x)=1/2 [mm] *(x^2-3x)^2 [/mm] aufgeleitet werden soll, muss ich doch innere Ableitung mal äußere rechnen, oder?
also so:
u= 1/2 [mm] *v^2
[/mm]
u'=v
[mm] v=x^2-3x
[/mm]
v'=2x-3
u'*v'= [mm] x^2-3x [/mm] * 2x-3
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Vielen Dank, fühle mich jetzt schon besser und sicherer.
Aber mit dem e tu ich mich noch schwer.
e^(2x) ist aufgeleitet ja 2e^(2x)
Ich weiß nur das es so ist, wie errechne ich das?
aber
was ist e^(ln4)
Das Gleiche in Richtung Ableitung, was ist e^(2x), was ist e^(ln4)
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Hallo!
> Vielen Dank, fühle mich jetzt schon besser und sicherer.
>
> Aber mit dem e tu ich mich noch schwer.
>
> e^2x ist aufgeleitet ja 2e^2x
>
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") du mienst sicher abgeleitet:
Schau: Wir leiten nun [mm] e^{2x} [/mm] ab dazu verwenden wir die Kettenregel. Es gilt für verkettete Funktionen. f(x)=g(h(x)) hier bei ist h(x) die innere Funktion und g(x) die äußere Funktion. Abgeleitet wird so f'(x)=g'(h(x))*h'(x)
Bei deiner Funktion ist [mm] g(x)=e^{x} [/mm] und h(x)=2x.
Also folgt:
[mm] g(x)=e^{x}
[/mm]
[mm] g'(x)=e^{x}
[/mm]
h(x)=2x
h'(x)=2
[mm] \Rightarrow f'(x)=e^{2x}*2=2e^{2x}
[/mm]
> Ich weiß nur das es so ist, wie errechne ich das?
>
> aber
>
> was ist e^2ln4
>
nach was soll denn hier abgeleitet werden? ich vermute es heisst [mm] f(x)=e^{2ln(x)}. [/mm] Also wieder Kettenregel:
[mm] g(x)=e^{x}
[/mm]
g'(x)=?
h(x)=2ln(x)
h'(x)=?
Du kannst auch 2ln(x) umwandeln zu ln(x²) aber obs dadurch einfacher wird musst du entscheiden.
> Das Gleiche in Richtung Ableitung, was ist e^2x, was ist
> e^ln4
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Hallo,
wie soll ich dir nur danken? Ein ganz großer Dank von mir: DANKE! :)
Die Funktion f(x)=e^(ln4)*e^(4x+3)
soll aufgeleitet werden.
Ich habe an die Produktregel gedacht:
u=e^ln4 v=1/4e^(4x+3)
u'= 1/4*e^(ln4) v'= e^(4x+3)
weil:
[mm] e^x
[/mm]
x=ln4
x'=1/4
Ist das bis hier hin richtig? In der Theorie versteh ich das, aber in der Praxis hackelts.
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Hallo!
> Hallo,
> wie soll ich dir nur danken? Ein ganz großer Dank von mir:
> DANKE! :)
>
> Die Funktion f(x)=e^(ln4)*e^(4x+3)
> soll aufgeleitet werden.
>
> Ich habe an die Produktregel gedacht:
>
> u=e^ln4 v=1/4e^(4x+3)
> u'= 1/4*e^(ln4) v'= e^(4x+3)
die Ableitung von [mm] e^{ln(4)} [/mm] ist 0 denn [mm] e^{ln(4)}=4 [/mm] und die Ableitung einer Zahl ist bekanntlich 0.
> weil:
> [mm]e^x[/mm]
> x=ln4
> x'=1/4
>
>
> Ist das bis hier hin richtig? In der Theorie versteh ich
> das, aber in der Praxis hackelts.
Wenn du ein Produkt siehst dann denke nicht immer an partielle Integration. Wir haben [mm] e^{ln(4)}*e^{4x+3} [/mm] aufzuleiten (zu integrieren). dann machen wir das mal.
[mm] \integral_{a}^{b}{e^{ln(4)}*e^{4x+3} dx}=\integral_{a}^{b}{4*e^{4x+3} dx} [/mm] Nun substituieren wir: u=4x+3 [mm] \Rightarrow \bruch{du}{dx}=4 \Rightarrow dx=\bruch{du}{4}
[/mm]
[mm] \Rightarrow \integral_{a}^{b}{4*e^{u} \bruch{du}{4}} [/mm] nun die 4 kürzen ergibt [mm] =\integral_{a}^{b}{e^{u} du}=e^{u} [/mm] nun zurücksubstituieren dann folgt als Stammfunktion [mm] e^{4x+3}
[/mm]
Das Ergebnis überprüfen wir indem wir es ableiten. (Kettenregel)
[mm] g(x)=e^{x}
[/mm]
[mm] g'(x)=e^{x}
[/mm]
h(x)=4x+3
h'(x)=4
[mm] \Rightarrow f(x)=g'(h(x))*h'(x)=e^{4x+3}*4=4*e^{4x+3} [/mm] und die 4 können wir schreiben als [mm] 4=e^{ln(4)} [/mm] Also folgt [mm] e^{ln(4)}*e^{4x+3}
[/mm]
Gruß
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Hallo,
danke, ich glaube ich hab es jetzt verstanden. Allerdings bin ich ir immernoch etwas unschlüsig, wann ich welches Verfahren verwenden soll. Denke das kommt mit dem Gefühl von vielen gerechneten Aufgaben...
Könnten wir noch eine gekoppelte Funktionschaar mit e-Funktion zusammen auf und ableiten? Allerdings habe ich keine passende Aufgabe gefunden.
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Hallo!
Versuch mal [mm] f_{a}(x)=a²x*e^{ax²+7} [/mm] abzuleiten und dann auch noch die Stammfunktion von [mm] a²x*e^{ax²+7} [/mm] zu bestimmen. Ansonsten stöber mal hier im Forum dort finden sich bestimmt Funktionen die man integrieren muss. Bestimmt hast du auch ein Mathematikbuch indem sicher einige aufgaben stehen.
Gruß
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Hallo,
schade, bin wieder hängen geblieben:
Aufleitung durch Substitution:
[mm] t=ax^2+7
[/mm]
[mm] x=\wurzel{(t-7)/a}
[/mm]
bei der Ableitung bin ich mir unsicher, ich muss die Kettenregel und die Quotientenregel anwenden.
u=v^(1/2) u'=1/2v^(-1/2)
v=((t-7)/a)
v' (mit Quotientenregel): (t-7-ta)/a2
,wenn u=t-2 u'=t
v=a v'=1 <-stimmt das?
Bis hierhin bin ich, ich habe noch Schwierigkeiten mit dem Ableiten.
Ableiten (versuch):
->Produktregel
u=a^2x [mm] u'=a^2
[/mm]
v= [mm] e^{ax^2+7} v'=ae^{ax^2+7} [/mm] ; das ist sicherlich falsch :)
Ich hoffe du kannst mir nochmal so schön helfen :)
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Hallo Thorben,
> Hallo,
> schade, bin wieder hängen geblieben:
>
> Aufleitung durch Substitution:
> [mm]t=ax^2+7[/mm]
> [mm]x=\wurzel{(t-7)/a}[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> bei der Ableitung bin ich mir unsicher, ich muss die
> Kettenregel und die Quotientenregel anwenden.
>
> u=v^(1/2) u'=1/2v^(-1/2)
du brauchst hier die Kettenregel: [mm] u'=\frac{1}{2}v^{-\frac{1}{2}}\cdot{}v'
[/mm]
> v=((t-7)/a)
>
> v' (mit Quotientenregel): (t-7-ta)/a2
> ,wenn u=t-2 u'=t
> v=a v'=1 <-stimmt das?
Hmm, das wird hier unübersichtlich, du vergibst v gleich 2mal...
s.o. nimm die Kettenregel:
[mm] $x'=\frac{dx}{dt}=\left[\sqrt{\frac{t-7}{a}}\right]'=\frac{1}{2\sqrt{\frac{t-7}{a}}}\cdot{}\left[\frac{t-7}{a}\right]'=\frac{1}{2\sqrt{\frac{t-7}{a}}}\cdot{}\frac{1}{a}=\frac{1}{2a}\cdot{}\sqrt{\frac{a}{7-t}}$
[/mm]
Also [mm] $dx=\frac{1}{2a}\cdot{}\sqrt{\frac{a}{7-t}} [/mm] \ dt$
Das ersetze nun mal alles im Ausgangsintegral:
[mm] $\int{a^2xe^{ax^2+7} \ dx}=\int{\left(a^2\sqrt{\frac{t-7}{a}}e^t \ \frac{1}{2a}\sqrt{\frac{a}{t-7}}\right) \ dt}=....$
[/mm]
Da kürzt sich nun viel raus und das Integral wird sehr überschaubar...
>
>
> Bis hierhin bin ich, ich habe noch Schwierigkeiten mit dem
> Ableiten.
>
>
>
> Ableiten (versuch):
> ->Produktregel
>
> u=a^2x [mm]u'=a^2[/mm]
> v= [mm]e^{ax^2+7} v'=ae^{ax^2+7}[/mm] ; das ist sicherlich falsch
> :)
Ja, da hast du bei der inneren Ableitung, also bei der Ableitung von [mm] $ax^2+7$ [/mm] etwas unterschlagen.
Es ist [mm] $\left[e^{ax^2+7}\right]'=\underbrace{e^{ax^2+7}}_{\text{äußere Ableitung}}\cdot{}\underbrace{2ax}_{\text{innere Ableitung}}$
[/mm]
Nun setze das mal alles zusammen 
LG
schachuzipus
>
>
> Ich hoffe du kannst mir nochmal so schön helfen :)
>
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Hallo Schachuzipus,
dankeschön! Ich rechne gerade, aber eine kleine Frage zu:
$ [mm] x'=\frac{dx}{dt}=\left[\sqrt{\frac{t-7}{a}}\right]'=\frac{1}{2\sqrt{\frac{t-7}{a}}}\cdot{}\left[\frac{t-7}{a}\right]'=\frac{1}{2\sqrt{\frac{t-7}{a}}}\cdot{}\frac{1}{a}=\frac{1}{2a}\cdot{}\sqrt{\frac{a}{7-t}} [/mm] $
Wieso steht die Wurzel auf einmal nicht mehr im Nenner und a steht im Zähler des Bruches der Wurzel?
Wieso 7-t statt t-7? Habe ich was übersehen, bin schon müde? *gähn* :)
PS: Ich glaube du hast dich nur vertippt, hast du auch [mm] F(x)=1/2ae^{ax^2+7} [/mm] heraus?
[mm] \integral_{a}^{b}{ae^t) dx} [/mm] ist doch [mm] F(x)=ae^t, [/mm] oder? Ich glaube ich muss langsam mal aufhören, bringe schon so vieles durcheinander... :)
Aber die Ableitung kommt noch...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:25 Mo 25.02.2008 | | Autor: | Thorben88 |
Hallo,
da du gerade leiberweise meine Fragen beantwortest, wollte ich hier gerne die Ableitunglösung niederschreiben, wäre schön wenn du mir sagen könntest, ob diese nun falsch oder richtig ist.
f'(x)= [mm] a^2*e^{ax^2+7}+2a^{4x}x+e^{ax^2+7}
[/mm]
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Tach nochmal,
> Hallo,
> da du gerade leiberweise meine Fragen beantwortest, wollte
> ich hier gerne die Ableitunglösung niederschreiben, wäre
> schön wenn du mir sagen könntest, ob diese nun falsch oder
> richtig ist.
>
> f'(x)= [mm]a^2*e^(ax^2+7)+2a^(4x)x+e^(ax^2+7)[/mm]
![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]")
Wie kommst du denn darauf? Die "Einzelteile", die wir für die Ableitung brauchen, hatten wir doch oben alle schon erarbeitet...
[mm] $f_a(x)=a^2xe^{ax^2+7}$ [/mm] ist die Funktion, die müssen wir nach der Produktregel ableiten, wobei der Teil mit [mm] $e^{ax^2+7}$ [/mm] nach Kettenregel verarztet wird
Also [mm] $f_a'(x)=\left[a^2x\right]'\cdot{}e^{ax^2+7}+a^2x\cdot{}\left[e^{ax^2+7}\right]'$
[/mm]
[mm] $=a^2\cdot{}e^{ax^2+7}+a^2x\cdot{}2axe^{ax^2+7}$
[/mm]
Das nun noch schön zusammenfassen und [mm] a^2e^{(...)} [/mm] ausklammern
LG
schachuzipus
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Hallo nochmal,
> Hallo Schachuzipus,
> dankeschön! Ich rechne gerade, aber eine kleine Frage zu:
>
> [mm]x'=\frac{dx}{dt}=\left[\sqrt{\frac{t-7}{a}}\right]'=\frac{1}{2\sqrt{\frac{t-7}{a}}}\cdot{}\left[\frac{t-7}{a}\right]'=\frac{1}{2\sqrt{\frac{t-7}{a}}}\cdot{}\frac{1}{a}=\frac{1}{2a}\cdot{}\sqrt{\frac{a}{7-t}}[/mm]
>
>
> Wieso steht die Wurzel auf einmal nicht mehr im Nenner und
> a steht im Zähler des Bruches der Wurzel?
Um den Doppelbruch wegzukriegen, habe ich mit dem Kehrbruch multipliziert:
Es ist [mm] $\frac{1}{\frac{x}{y}}=1\cdot{}\frac{y}{x}$
[/mm]
Denke dir [mm] $x=\sqrt{t-7}$ [/mm] und [mm] $y=\sqrt{a}$
[/mm]
> Wieso 7-t statt t-7? Habe ich was übersehen, bin schon
> müde? *gähn* :)
Pure Boshaftigkeit meinerseits
>
> PS: Ich glaube du hast dich nur vertippt,
ja, hab' ich - ![[sorry]](/images/smileys/sorry.gif "[sorry]")
> hast du auch
> [mm]F(x)=1/2ae^{ax^2+7}[/mm] heraus?
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") jo, hab' ich
>
> [mm]\integral_{a}^{b}{ae^t) dx}[/mm] ist doch [mm]F(x)=ae^t,[/mm] oder?
Evtl. noch + ne Integrationskonstante, aber die können wir ja mal als 0 wählen
> Ich glaube ich muss langsam mal aufhören, bringe schon so
> vieles durcheinander... :)
Ja, lieber immer mal wieder ne ![[kaffeetrinker]](/images/smileys/kaffeetrinker.gif "[kaffeetrinker]") machen
> Aber die Ableitung kommt noch...
Jo, mach' mal..
LG
schachuzipus
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Hey super,
dankeschön, das find ich so...ich kanns kaum ausdrücken, klasse von dir!
ist die Lösung richtig?:
f'(x)=$ [mm] a^2\cdot{}e^{ax^2+7}+2a^{4x}x+e^{ax^2+7} [/mm] $
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Hallo,
> Hey super,
> dankeschön, das find ich so...ich kanns kaum ausdrücken,
> klasse von dir!
> ist die Lösung richtig?:
>
> f'(x)= [mm] a^2\cdot{}e^{ax^2+7}+2a^{4x} [/mm] [mm] x+e^{ax^2+7}
[/mm]
Auf welch wundersame Weise kommt dieser Exponent zustande?
Für die richtige Ableitung s. Mitteilung oberhalb
LG
schachuzipus
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Hallo!
Solltest du tatsächlich [mm] e^{ln(4)} [/mm] meinen und das integrieren wollen dann musst du umformen. Es ist [mm] e^{ln(4)}=4 [/mm] und die aufleitung von 4 ist 4x+c
Gruß
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![[]](/images/popup.gif){kind=small}
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