Integrationsgrenzen < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:01 Sa 24.01.2009 | | Autor: | arxi |
| Aufgabe | Beweise: für alle t > 0 gilt:
[mm] \integral_{t}^{1}{dx/(1+x²)} [/mm] = [mm] \integral_{1}^{-t}{dx/(1+x²)}
[/mm]
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Im Prinzip wirkt es trivial und man lernt diesen "Trick" schon in der Oberstufe, aber den Beweis dazu leider nicht...
Bin über jede Hilfe bzw. Anregung dankbar.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:30 Sa 24.01.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo arxi,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!
Was spricht denn dagegen, hier beide bestimmte Integrale zu berechnen und zu vergleichen?
Anderen falls musst Du wohl über die Achsensymmetrie der zu integrierenden Funktion [mm] $\bruch{1}{1+x^2}$ [/mm] gehen. Da der Integrand also eone gerade Funktion ist, enteht beim Integrieren eine ungerade Funktion.
Gruß
Loddar
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Ohne auszuintegrieren:
[mm]\integral_{t}^{1}{dx/(1+x²)}[/mm] = ...
setze m=-x und damit dm = -dx sowie veränderte
Integrationsgrenzen: Ist x=1, so ist m=-x=-1,
ist x=t, so ist m=-x=-t:
...[mm]\integral_{-t}^{-1}{-dm/(1+(-m)²)}[/mm]
= [mm]-\integral_{-t}^{-1}{dm/(1+m²)}[/mm]...
jetzt Intrgrationsgrenzen vertauschen, dafür auch Integral-Vorzeichen
...= [mm]\integral_{-1}^{-t}{dm/(1+m²)}[/mm]...
jetzt ohne Berücksichtigung des Bisherigen nur wieder Buchstabe m durch x ersetzen
...= [mm]\integral_{-1}^{-t}{dx/(1+x²)}[/mm]...
Wie du siehst, war in der Aufgabenstellung die Integral-Untergrenze im Endergebnis (1) falsch, es muss -1 heißen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:31 So 25.01.2009 | | Autor: | arxi |
Ich danke euch für die schnelle Hilfe.
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