Integration von trigonom Fkt < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:49 So 07.11.2004 | | Autor: | ChryZ |
Hallo zusammen!
Ich habe ein Problem mit folgender Aufgabe:
Berechnen Sie den Wert von:
[mm] \integral_{0}^{2 \pi}{cos(mx) sin(nx) dx} [/mm] m,n [mm] \in \IZ
[/mm]
Bisher hab ich versucht mit cos oder sin zu erweitern,damit ich den Tangens bilden kann und so auf [mm] \integral_{}^{} {\bruch {f'(x)}{f(x)} dx} [/mm] zu kommen,aber ich krieg das m bzw n nicht weg. Part. Int. bringt auch nix.Gibt es noch eine andere Möglichkeit?
MfG
*
* Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:26 So 07.11.2004 | | Autor: | Mow-Sy |
Ich bin mir nicht ganz sicher, aber probiers mal mit partieller Integration. Die Formel steht im Tafelwerk.
Da gibts ja dann zwei Möglichkeiten:
- eine kommt nicht zum ende, ein sogenannter holzweg
- bei der anderen erhältst du irgendwann ein Restintegral, das deinem Ausgangsintegral gleicht, naja, und das laßt sich dann kürzen
viel glück, hab leider nicht viel Zeit, sonst hätte ich das nochmal nachgerechnet...
Mow-Sy
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:20 So 07.11.2004 | | Autor: | Clemens |
Hallo ChryZ!
Betrachten wir die aus der Euler'schen Formel herleitbaren Formeln:
I sin(nx + mx) = sin(nx)cos(mx) + cos(nx)sin(mx)
II sin(nx - mx) = sin(nx)cos(mx) - cos(nx)sin(mx)
wenn wir addieren, ergibt sich:
[mm] \bruch{I + II}{2}: \bruch{sin(nx + mx) + sin(nx - mx)}{2} [/mm] = sin(nx)cos(mx)
Jetzt solltest du es schaffen!
Es kommt übrigens wenig raus...
Liebe Grüße
Clemens
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:41 So 07.11.2004 | | Autor: | Clemens |
Mir ist gerade noch ein Trick eingefallen:
f(x) = sin(nx)cos(mx)
Dann gilt:
[mm] f(2\pi [/mm] - x) = [mm] sin(2n\pi [/mm] - [mm] nx)cos(2m\pi [/mm] - mx) = sin(-nx)cos(-mx) = -sin(nx)cos(mx) = -f(x)
Daraus folgt:
[mm] \integral_{x = 0}^{x = \pi} [/mm] f(x) dx
= [mm] \integral_{x = 0}^{x = \pi} {-f(2\pi - x) dx} [/mm] [u = [mm] 2\pi [/mm] - x]
= [mm] \integral_{u = 2\pi}^{u = \pi} [/mm] f(u) du
= [mm] -\integral_{u = \pi}^{u = 2\pi} [/mm] f(u) du
= [mm] -\integral_{x = \pi}^{x = 2\pi} [/mm] f(x) dx
[mm] \Rightarrow
[/mm]
[mm] \integral_{x = 0}^{x = \pi} [/mm] f(x) dx + [mm] \integral_{x = \pi}^{x = 2\pi} [/mm] f(x) dx = 0
[mm] \Rightarrow
[/mm]
[mm] \integral_{x = 0}^{x = 2\pi} [/mm] f(x) dx = 0
Liebe Grüße
Clemens
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:30 So 07.11.2004 | | Autor: | ChryZ |
Danke euch beiden,hat mir viel geholfen.
Lösung 0
|
|
|
|
