Integration von (t+ln(x))/x < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:42 Do 25.09.2008 | | Autor: | Marius90 |
Hallo!
Ich muss folgendes Integral lösen:
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{t+ln(x)}{x}dx}
[/mm]
Mit partieller Integration hat es nicht funktioniert, mit Substitution auch nicht. Wie geht es dann?
In Wikipedia hab ich folgende Regeln gefunden:
[mm] \bruch{1}{x}ln^{n}(x)=\bruch{1}{n+1}ln^{n+1}(x)
[/mm]
[mm] \bruch{1}{x}ln(x^{n})=\bruch{1}{2n}ln^{2}(x^{n})
[/mm]
Mit diesen könnte ich das Problem lösen. Allerdings haben wir diese Regeln nie kennen gelernt und ich hab einfach keine Ahnung, wie ich mir diese herleiten könnte. Eigentlich muss die Aufgabe ja auch ohne diese Regel zu lösen sein, da das Mathebuch ja keine Aufgaben stellen kann, die eigentlich für den Schüler zu diesem Zeitpunkt unlösbar sind.
Kann mir jemand helfen?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:47 Do 25.09.2008 | | Autor: | fred97 |
> Hallo!
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> Ich muss folgendes Integral lösen:
>
> [mm]\integral_{}^{}{\bruch{t+ln(x)}{x}dx}[/mm]
>
> Mit partieller Integration hat es nicht funktioniert, mit
> Substitution auch nicht. Wie geht es dann?
>
> In Wikipedia hab ich folgende Regeln gefunden:
>
> [mm]\bruch{1}{x}ln^{n}(x)=\bruch{1}{n+1}ln^{n+1}(x)[/mm]
> [mm]\bruch{1}{x}ln(x^{n})=\bruch{1}{2n}ln^{2}(x^{n})[/mm]
>
> Mit diesen könnte ich das Problem lösen. Allerdings haben
> wir diese Regeln nie kennen gelernt und ich hab einfach
> keine Ahnung, wie ich mir diese herleiten könnte.
> Eigentlich muss die Aufgabe ja auch ohne diese Regel zu
> lösen sein, da das Mathebuch ja keine Aufgaben stellen
> kann, die eigentlich für den Schüler zu diesem Zeitpunkt
> unlösbar sind.
>
> Kann mir jemand helfen?
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Wo hast Du Probleme ? Die Substitution u = t+lnx führt doch ratzfatz zum Ziel!
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:07 Do 25.09.2008 | | Autor: | Marius90 |
Damit komme ich soweit:
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{t+ln(x)}{x}dx}
[/mm]
u(x) = t+ln(x)
u'(x) = [mm] \bruch{1}{x}
[/mm]
dx = xdz
[mm] =\integral_{}^{}{\bruch{z}{x}*xdz}
[/mm]
[mm] =\integral_{}^{}{zdz}
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{2}z^{2}
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{2}(t+ln(x))^{2}
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{2}(t^{2}+2tln(x)+ln^{2}(x))
[/mm]
[mm] =\bruch{t^{2}}{2}+tln(x)+\bruch{ln^{2}(x)}{2}
[/mm]
Laut Derive sollte aber nur [mm] tln(x)+\bruch{ln^{2}(x)}{2} [/mm] rauskommen. Wo ist mein Fehler?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:11 Do 25.09.2008 | | Autor: | fred97 |
> Damit komme ich soweit:
>
> [mm]\integral_{}^{}{\bruch{t+ln(x)}{x}dx}[/mm]
>
> u(x) = t+ln(x)
> u'(x) = [mm]\bruch{1}{x}[/mm]
> dx = xdz
>
> [mm]=\integral_{}^{}{\bruch{z}{x}*xdz}[/mm]
> [mm]=\integral_{}^{}{zdz}[/mm]
> [mm]=\bruch{1}{2}z^{2}[/mm]
> [mm]=\bruch{1}{2}(t+ln(x))^{2}[/mm]
> [mm]=\bruch{1}{2}(t^{2}+2tln(x)+ln^{2}(x))[/mm]
> [mm]=\bruch{t^{2}}{2}+tln(x)+\bruch{ln^{2}(x)}{2}[/mm]
>
> Laut Derive sollte aber nur [mm]tln(x)+\bruch{ln^{2}(x)}{2}[/mm]
> rauskommen. Wo ist mein Fehler?
Nirgendwo!! Deine Lösung und die Lösung von Derive unterscheiden sich durch die Konstante [mm] t^2/2.
[/mm]
Beachte: eine Stammfunktion ist nur bis auf eine additive Konstante eindeitig bestimmt
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:15 Do 25.09.2008 | | Autor: | Marius90 |
Das heißt also, ich darf bei allen Stammfunktionen, die ich je ermitteln werde, additive Konstanten rausschmeißen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:24 Do 25.09.2008 | | Autor: | fred97 |
Nein.
Manche verstehen unter diesem Symbol [mm] \integral{f(x) dx} [/mm] die Menge aller Stammfunktionen von f , andere verstehen darunter eine Stammfunktion.
Zu welcher Auffassung man neigt, ist eigentlich egal, wenn man sich bewußt ist, dass Stammfunktionen eben nur bis auf additive Konstanten eindeutig bestimmt sind.
So ist z.B.: [mm] \integral{2x dx} [/mm] = [mm] x^2 [/mm] aber auch [mm] \integral{2x dx} [/mm] = [mm] x^2+7876
[/mm]
Beides ist richtig, weil beide Funktionen rechts Stammfunktionen von 2x sind
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:37 Do 25.09.2008 | | Autor: | Marius90 |
Okay, danke. So ganz verstanden habe ich allerdings nicht, wieso ich die Konstante nicht aus der Stammfunktion heraus nehmen darf, wenn es doch am Ergebnis letztlich gar nichts ändert, da sie beim Ableiten immer wegfällt. Verfährt Derive dann etwa bei dieser Aufgabe falsch, wenn es die Konstante wegfallen lässt?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:45 Do 25.09.2008 | | Autor: | fred97 |
> Okay, danke. So ganz verstanden habe ich allerdings nicht,
> wieso ich die Konstante nicht aus der Stammfunktion heraus
> nehmen darf, wenn es doch am Ergebnis letztlich gar nichts
> ändert, da sie beim Ableiten immer wegfällt.
Manchmal braucht man eine ganz bestimmte Stammfunktion.
Aufgabe: Bestimme eine Stammfunktion F von f(x) = [mm] x^3 [/mm] mit F(0) = 4
>Verfährt
> Derive dann etwa bei dieser Aufgabe falsch, wenn es die
> Konstante wegfallen lässt?
Nein
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:48 Do 25.09.2008 | | Autor: | Marius90 |
Gut, aber wenn keine besondere Bedingung angegeben ist, sondern die Aufgabe nur ist "Bestimmen Sie eine Stammfunktion von f(x)", dann darf ich die Konstante immer wegfallen lassen, oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:51 Do 25.09.2008 | | Autor: | fred97 |
> Gut, aber wenn keine besondere Bedingung angegeben ist,
> sondern die Aufgabe nur ist "Bestimmen Sie eine
> Stammfunktion von f(x)", dann darf ich die Konstante immer
> wegfallen lassen, oder?
Na ja , manche legen, wie gesagt, Wert darauf, dass man z.B. schreibt:
[mm] \integral{2x dx} [/mm] = [mm] x^2+c [/mm] mit c [mm] \in \IR
[/mm]
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:02 Do 25.09.2008 | | Autor: | Marius90 |
Okay, dann danke nochmals für deine Zeit.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:52 Do 25.09.2008 | | Autor: | Herby |
Hallo Marius,
und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
wenn du die zu integrierende Funktion aufspaltest in [mm] t*\bruch{1}{x}+\bruch{ln(x)}{x} [/mm] , dann kannst du die genannte Formeln direkt anwenden.
Liebe Grüße
Herby
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:09 Do 25.09.2008 | | Autor: | Marius90 |
Dass ich die Formeln anwenden kann, habe ich ja bereits verstellt. Allerdings darf ich ja nicht einfach irgendwelche Formeln verwenden, die wir im Unterricht nicht hergeleitet haben. Deshalb habe ich versucht, mir die selbst herzuleiten, aber das hat eben nicht funktioniert.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:18 Do 25.09.2008 | | Autor: | fred97 |
Diese Formel
[mm] \integral{ \bruch{1}{x}ln^{n}(x) dx}=\bruch{1}{n+1}ln^{n+1}(x) [/mm]
kannst Du beweisen indem Du rechts differenzierst und schaust , dass die linke Seite herauskommt.
Eine billige Art, aber besser als gar keine,
FRED
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