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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:16 Di 19.02.2008 | | Autor: | yanca |
| Aufgabe | | [mm] \int{\bruch{1}{\cos(x)*\sin(x)} \ dx} [/mm] |
Ich soll diese Aufgabe nach x integrieren, als Tipp steht da, man soll mit cos(x) erweitern. Ich komme aber nicht mal ansatzweise auf die angegebene Lösung von ln(tan(x)). Ich habe es mit zweimaliger partieller Integration versucht, bekomme am Ende aber 1 heraus. Wäre froh wenn mir jemand dabei helfen könnte!
Viele grüße, yanca
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:19 Di 19.02.2008 | | Autor: | yanca |
| Aufgabe | | $ [mm] \int{\bruch{1}{\cos(x)\cdot{}\sin(x)} \ dx} [/mm] $ |
Schonmal danke für die Antwort. Ich komme aber immernoch nicht auf das Ergebnis. Irgendwie haut das nicht hin.
also wenn z=tan(x) ist, dann ist dz/dx= 1/cos²(x), also ist dx= dz*cos²(x). Im Integral kürzt sich dann der cos im Nenner heraus und ich bekomme cos(x)/sin(x), also cot(x) allerdings nach dz. also muss ich doch noch das Argument x durch z ersetzen, das wäre ja dann arctan(z)=x. Das wird doch dann noch komplizierter?! ![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]")
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Hallo Yanca!
Du hattest doch $z \ := \ [mm] \tan(x)$ [/mm] substituiert. Nach der Substitution und auch das Ersetzen des Differential's $dx_$ durch $dz_$ haben wir doch:
[mm] $$\integral{\bruch{1}{\sin(x)*\cos(x)} \ dx} [/mm] \ = \ ... \ = \ [mm] \integral{\bruch{\cos(x)}{\sin(x)} \ d\red{z}} [/mm] \ = \ [mm] \integral{\bruch{1}{\blue{\tan(x)}} \ dz} [/mm] \ = \ [mm] \integral{\bruch{1}{\blue{z}} \ dz}$$
[/mm]
Nun der weitere Weg klar?
Gruß vom
Roadrunner
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:35 Di 19.02.2008 | | Autor: | yanca |
klar, warum hab ich das nich gesehen! *vordiestirnhau*
vielen dank!
![[lichtaufgegangen]](/images/smileys/lichtaufgegangen.gif "[lichtaufgegangen]")
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:40 Di 19.02.2008 | | Autor: | abakus |
> [mm]\int{\bruch{1}{\cos(x)\cdot{}\sin(x)} \ dx}[/mm]
> Schonmal danke
> für die Antwort. Ich komme aber immernoch nicht auf das
> Ergebnis. Irgendwie haut das nicht hin.
> also wenn z=tan(x) ist, dann ist dz/dx= 1/cos²(x), also
> ist dx= dz*cos²(x). Im Integral kürzt sich dann der cos im
> Nenner heraus und ich bekomme cos(x)/sin(x), also cot(x)
> allerdings nach dz. also muss ich doch noch das Argument x
> durch z ersetzen, das wäre ja dann arctan(z)=x. Das wird
> doch dann noch komplizierter?!
Hallo,
es geht auch ohne Substitution. Ersetze die 1 im Zähler durch sin²x+cos²x, zerlege den Bruch dann in zwei Summanden und kürze jeden Summanden.
Die beiden Brüche enthalten im Zähler jeweils die Ableitung des Nenners (eventuell mit negativem Vorzeichen), die Stammfunktion muss damit jeweils der Logarithmus von der Nennerfunktion (oder von "(-1) mal Nennerfunktion") sein.
Viele Grüße
Abakus
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![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]"){kind=small}
Gruß
