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| Aufgabe | Man berechne folgende Integrale mit Hilfe des Residuensatzes:
b) [mm] \integral_{0}^{2*\pi}{\bruch{1}{5-3*sin(x)} dx} [/mm] |
Hallo,
Ich komme bei der oben genannten Aufgabe leider nicht auf das richtige Ergebnis: [mm] \bruch{\pi}{2}
[/mm]
mein Rechengang:
Seite1: http://www.abload.de/img/seite1g90x.jpg
Seite2: http://www.abload.de/img/seite2rxvs.jpg
Bitte um Hilfe.
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Hallo DoubleHelix,
> Man berechne folgende Integrale mit Hilfe des
> Residuensatzes:
> b) [mm]\integral_{0}^{2*\pi}{\bruch{1}{5-3*sin(x)} dx}[/mm]
>
> Hallo,
> Ich komme bei der oben genannten Aufgabe leider nicht auf
> das richtige Ergebnis: [mm]\bruch{\pi}{2}[/mm]
>
> mein Rechengang:
> Seite1: http://www.abload.de/img/seite1g90x.jpg
> Seite2: http://www.abload.de/img/seite2rxvs.jpg
Es muss heißen:
[mm]}\integral_{}^{}{\bruch{2}{-3*z^{2}+10*i*z+3} \ dz}[/mm]
>
> Bitte um Hilfe.
>
Gruss
MathePower
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Dann ändern sich nur die Vorzeichen. der Wert [mm] \bruch{3}{8}*i [/mm] bleibt aber leider vorhanden womit ich ein Ergebnis von [mm] -\bruch{3}{4}\pi [/mm] erhalten würde :(
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Hallo DoubleHelix,
> Dann ändern sich nur die Vorzeichen. der Wert
> [mm]\bruch{3}{8}*i[/mm] bleibt aber leider vorhanden womit ich ein
> Ergebnis von [mm]-\bruch{3}{4}\pi[/mm] erhalten würde :(
Nun, Du hast da noch einen Faktor [mm]-\bruch{2}{3}[/mm] vergessen:
[mm]\integral_{}^{}{\bruch{2}{-3\cdot{}z^{2}+10\cdot{}i\cdot{}z+3} \ dz}=-\bruch{2}{3} \integral_{}^{}{\bruch{1}{z^{2}-\bruch{5}{3}\cdot{}i\cdot{}z-1} \ dz} [/mm]
Gruss
MathePower
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Wohoooooooooo ich habs! Danke Vielmals!
Wieso kann ich zur Berechnung des Residuums eigendlich nicht auch die [mm] Formel:\limes_{z\rightarrow\z_0}(z-{z_0})*f{z} [/mm] verwenden?(mit dieser funktionierts halt nicht ;))
sondern nur die [mm] Formel:\bruch{f{z}}{g'{z}} [/mm] ?
Beide gelten ja für Pole erster Ordnung.
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Hallo DoubleHelix,
> Wohoooooooooo ich habs! Danke Vielmals!
> Wieso kann ich zur Berechnung des Residuums eigendlich
> nicht auch die
> [mm]Formel:\limes_{z\rightarrow\z_0}(z-{z_0})*f{z}[/mm]
> verwenden?(mit dieser funktionierts halt nicht ;))
>
> sondern nur die [mm]Formel:\bruch{f{z}}{g'{z}}[/mm] ?
>
Diese Formel geht aus der erstgenannten Formel hervor.
Bei der ersten Formel ist [mm]f\left(z\right)=\bruch{a}{\left(z-z_{1}\right)*\left(z-z_{2}\right)}[/mm]
Während bei der zweiten Formel
[mm]f\left(z\right)=a, \ g\left(z\right)=\left(z-z_{1}\right)*\left(z-z_{2}\right)[/mm]
ist.
> Beide gelten ja für Pole erster Ordnung.
Gruss
MathePower
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