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| Aufgabe | | Integriere: [mm] \integral{(x^2-3+\bruch{7x^2+6}{x^4+3x^2+2}) dx} [/mm] |
Hallo,
ich muss folgende Aufgabe integrieren: [mm] \integral{(x^2-3+\bruch{7x^2+6}{x^4+3x^2+2}) dx}
[/mm]
Der Nenner hat keine Nullstellen, wenn ich das richtig sehe. Habe dazu ne Lösung gefunden, die ich allerdings nicht nachvollziehen kann.
Der Nenner wird umgeformt zu: [mm] (x^2+1)(x^2+2). [/mm] Wie komme ich auf sowas? Gibt es da einen Trick, das zu erkennen?
Wie komme ich, wenn ich das habe auf den Ansatz für die Partialbruchzerlegung? Ich habe keine reellen NST und komplexe kann ich daraus auch nicht erkennen.
Vielen Dank für eure Hilfe.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:52 Do 04.06.2009 | | Autor: | fred97 |
> Integriere: [mm]\integral{(x^2-3+\bruch{7x^2+6}{x^4+3x^2+2}) dx}[/mm]
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> Hallo,
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> ich muss folgende Aufgabe integrieren:
> [mm]\integral{(x^2-3+\bruch{7x^2+6}{x^4+3x^2+2}) dx}[/mm]
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> Der Nenner hat keine Nullstellen, wenn ich das richtig
> sehe.
keine reellen ! Komplexe schon
> Habe dazu ne Lösung gefunden, die ich allerdings
> nicht nachvollziehen kann.
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> Der Nenner wird umgeformt zu: [mm](x^2+1)(x^2+2).[/mm] Wie komme ich
> auf sowas? Gibt es da einen Trick, das zu erkennen?
Die komplexen Nullstellen sind: $ i, -i, [mm] \wurzel{2}i, -\wurzel{2}i$
[/mm]
>
> Wie komme ich, wenn ich das habe auf den Ansatz für die
> Partialbruchzerlegung?
[mm] $\bruch{7x^2+6}{x^4+3x^2+2}= \bruch{Ax+B}{x^2+1}+\bruch{Cx+D}{x^2+2}$
[/mm]
FRED
> Ich habe keine reellen NST und
> komplexe kann ich daraus auch nicht erkennen.
>
> Vielen Dank für eure Hilfe.
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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Ja OK du hast natürlich Recht. Das hab ich garnicht gesehen.
Damit ist der Ansatz für die Partialbruchzerlegung klar.
Aber wie komme ich, von [mm] x^4+3x^2+2 [/mm] zu [mm] (x^2+1)(x^2+2)?
[/mm]
wenn ichs sehe ist es mir klar, aber ohne die Lösung sitze ich da immer ewig davor. Mein Prof sagt immer, sowas muss man auf den 1. Blick sehen. Mir gehts da leider nicht so.
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Hallo Sven,
> Ja OK du hast natürlich Recht. Das hab ich garnicht
> gesehen.
> Damit ist der Ansatz für die Partialbruchzerlegung klar.
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> Aber wie komme ich, von [mm]x^4+3x^2+2[/mm] zu [mm](x^2+1)(x^2+2)?[/mm]
> wenn ichs sehe ist es mir klar, aber ohne die Lösung sitze
> ich da immer ewig davor. Mein Prof sagt immer, sowas muss
> man auf den 1. Blick sehen. Mir gehts da leider nicht so.
Ansatz: [mm] $x^4+3x^2+2=(x^2+ax+b)\cdot{}(x^2+cx+d)$
[/mm]
Das ausmultiplizieren und Koeffizientenvergleich machen.
Oder substituiere [mm] $z:=x^2$, [/mm] dann hast du ein Polynom zweiten Grades, dessen Nullstellen berechnen kannst (zB. mit der p/q-Formel oder Vieta)
LG
schachuzipus
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Ahhhh... Jetzt ergibt das einen Sinn.
Substitution hat geholfen.
Vielen Dank
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