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Ich soll eine Funktion f(x)=ln(x) / wurzel(x) um die x-Achse mit rotieren lassen. Als Grenzen gelten e² und [mm] e^1. [/mm] Problem ist nur die Funktion (ln(x))² / x zu integrieren. Nach welcher Regel soll ich das machen?
Vielen lieben Dank für eine Antwort.
David
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:28 Di 18.04.2006 | | Autor: | Disap |
Moin.
> Ich soll eine Funktion f(x)=ln(x) / wurzel(x) um die
> x-Achse mit rotieren lassen. Als Grenzen gelten e² und [mm]e^1.[/mm]
> Problem ist nur die Funktion (ln(x))² / x zu integrieren.
> Nach welcher Regel soll ich das machen?
Den ersten Term, ohne es zu quadrieren, wäre eigentlich viel schöner (vermutlich daher, weil ich das Quadrieren vergessen habe)
<unwichtig>
Nach der partiellen Integration.
Mit dem Wissen, dass $[ ln(x) ] ' = [mm] x^{-1} [/mm] $ geht das.
Die Regel dafür lautet
$ F(x) = u*v - [mm] \int [/mm] u'*v $
$u = ln(x)$
$u' = [mm] x^{-1}$
[/mm]
$v' = [mm] \br{1}{\wurzel{x}}= x^{-0.5}$ [/mm] // Potenzgesetz
v = [mm] 2x^{0.5}
[/mm]
Es ergibt sich
F(x) = u*v - [mm] \int [/mm] u'*v
</unwichtig>
<wichtig>
[mm] $\int \br{(lnx)^2}{x}dx$
[/mm]
$z:= ln(x)$
$z' = [mm] x^{-1} [/mm] $ //Steht in jeder Formelsammlung, du kannst es aber auch selbst herleiten
$dx = [mm] \br{dz}{z'} [/mm] = [mm] \br{dz}{x^{-1}} [/mm] = dz*x $ // Potenzgesetz
[mm] $\int \br{z^2}{x}dx$
[/mm]
Setzen wir den Term für dx ein, erhalten wir
[mm] $\int \br{z^2}{\red{x}}dz*\red{x}$
[/mm]
Das rote kürzt sich weg
Kontrollergebnis:
F(x) = [mm] \br{(lnx)^3}{3}
[/mm]
> Vielen lieben Dank für eine Antwort.
> David
yw
Disap
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:40 Di 18.04.2006 | | Autor: | d_lphin |
Hallo,
ich erhalte mit partieller Integration: [mm] F(x)=2*\wurzel{x}*ln(x)-4*\wurzel{x}
[/mm]
----- edit ----
ähm - für die Grundfunktion halt, ...... und für das Rotationsvolumen gilt ja [mm] V=\pi*\integral_{a}^{b}{(f(x))² dx}
[/mm]
partiell:
[mm] u=(ln(x))^{2}
[/mm]
[mm] u'=\bruch{2*ln(x)}{x}
[/mm]
$v=ln(x) $
[mm] v'=\bruch{1}{x}
[/mm]
[mm] I=u*v-\integral{u'*v dx}
[/mm]
[mm] I=(ln(x))²*ln(x)-\integral{\bruch{2*ln(x)}{x}*ln(x) dx}=(ln(x))³-2*\integral{\bruch{(ln(x))²}{x} dx}=(ln(x))³-2*I
[/mm]
[mm] \Rightarrow 3*I=(ln(x))^{3}
[/mm]
[mm] \Rightarrow I=\bruch{(ln(x))³}{3}
[/mm]
Gruß
Del
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:45 Di 18.04.2006 | | Autor: | Disap |
> Hallo,
Hi.
>
> ich erhalte mit partieller Integration:
> [mm]F(x)=2*\wurzel{x}*ln(x)-4*\wurzel{x}[/mm]
das scheint mir die Stammfunktion für
$f(x) = [mm] \br{ln(x)}{\wurzel{x}} [/mm] $
zu sein, die nicht gefragt war.
(Nur habe ich am Anfang vergessen, dass es sich um Rotationskörper handelt und daher f(x) quadriert wird - also habe ich munter ohne das Quadrieren gerechnet, aber ich habe es so schön aufgeschrieben, da wollte ich es nicht wieder löschen)
Gruß
Disap
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:51 Di 18.04.2006 | | Autor: | d_lphin |
Hi,
dann hast du aber doch einen Fehler, denn es muss heißen: [mm] \bruch{(ln(x))³}{3}
[/mm]
Gruß
Del
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:58 Di 18.04.2006 | | Autor: | Disap |
> Hi,
Servus.
> dann hast du aber doch einen Fehler, denn es muss heißen:
> [mm]\bruch{(ln(x))³}{3}[/mm]
Gutes Auge!
Den Tippfehler [mm] \bruch{(ln(x))^\red{2}}{3}
[/mm]
habe ich korrigiert. Danke für den Hinweis...
Blöde Tastatur...
>
> Gruß
> Del
LG
Disap
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:02 Di 18.04.2006 | | Autor: | d_lphin |
.... editier mal meine partielle Integration....
den Sinn ändere ich aber nicht!
Gruß
Del
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Hi!
Ich danke euch für die viele Arbeit. Hatte den Ansatz selber heute morgen schon stehen, allerdings hatte mich beim Substituieren das dx= x*dt etwas gestört und ich habe dann abgebrochen, weil ich dachte, dass es falsch wäre. Vorher hatte ich übrigens genauso wie ihr auch ohne das Quadrat gerechnet 
Also vielen Dank und viele Grüße
David
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