Integration, e^(-x^2/2) < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:53 Do 08.01.2015 | | Autor: | YuSul |
| Aufgabe | Zeigen Sie, dass
[mm] $1-\Phi(t)\sim \frac{1}{t\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{t^2}{2}}$
[/mm]
Mit [mm] $\sim$ [/mm] ist folgende Relation gemeint https://matheraum.de/read?t=1045684 |
Hallo,
ich möchte diese Aufgabe lösen. Zeigen soll ich also
[mm] $\lim_{t\to\infty} \frac{1-\Phi(t)}{\frac{1}{t\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{t^2}{2}}}=1$
[/mm]
Dabei ist [mm] $\Phi(t)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^t e^{-x^2/2}\, [/mm] dx$
Bekanntermaßen gilt [mm] $1-\Phi(t)=\Phi(-t)$. [/mm] Das [mm] $\frac{1}{\sqrt{2\pi}}$ [/mm] kürzt sich weg.
Zeigen muss ich also "nur noch":
[mm] $\lim_{t\to\infty}\frac{\int_{-\infty}^{-t}e^{-x^2/2}\,dx}{\frac{1}{t}e^{\frac{t^2}{2}}}$
[/mm]
Wir haben den Hinweis bekommen, dass wir eine "geschickte" partielle Integration anwenden sollen.
Mein erster Gedanke war es mit Polarkoordinaten zu machen. Denn dieses Integral sollte ja keine geschlossene Form haben, also in der Form gar nicht partiell integrierbar sein.
Mit Polarkoordinaten kam ich aber nicht weiter.
Kann mir jemand einen Tipp zum Hinweis geben?
Wie ist das mit der partiellen Integration gemeint?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:23 Do 08.01.2015 | | Autor: | leduart |
Hallo
1.das Integral lässt sich auf keine Weise mit bekannten Funktionen lösen
2. die partielle Integration ist wohl 1=u' ; [mm] e^{-x^2/2}=v
[/mm]
bekannt sollte sein
[mm] \integral_{-\infty}^{\infty}{exp(-x^2/2)dx}=\wurzel{2*\pi}
[/mm]
Gruß leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:36 Do 08.01.2015 | | Autor: | YuSul |
Ja, dies ist bekannt. Mit dieser partiellen Integration hatte ich es versucht, aber bisher ohne den bekannten "Integralwert" auszunutzen.
Auch jetzt sehe ich nicht wie ich das tun kann.
[mm] $\int e^{-x^2/2}\, dx=xe^{-x^2/2}+\int x^2e^{-x^2/2}\, [/mm] dx$
Wie mich nun der bekannte Integralwert weiterbringt, dass sehe ich leider nicht...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:33 Do 08.01.2015 | | Autor: | leduart |
Hallo
Grenzen einsetzen und durch den Nenner teilen
Gruss leduart
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 23:02 Do 08.01.2015 | | Autor: | YuSul |
Wenn ich die Grenzen einsetze, dann erhalte ich
[mm] $\sqrt{2\pi}=xe^{-x^2/2}+\int_{-\infty}^{\infty}x^2e^{-x^2/2}\, [/mm] dx$
Welchen Nenner meinst du?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:20 Sa 10.01.2015 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:21 Do 08.01.2015 | | Autor: | DieAcht |
Hallo YuSul!
Äquivalent wollen wir zeigen, dass gilt:
[mm] \left(\int_{\IR}e^{-t^2/2}dt\right)^2=2\pi.
[/mm]
Schreibe dazu das Quadrat der Integrale als ein zweidimensionales
Integral über
[mm] x=(x_1,x_2)\in\IR^2 [/mm]
und gehe über zu Polarkoordinanten.
(Beachte: [mm] x_1^2+x_2^2=\|x\|_2^2.)
[/mm]
Edit: Anscheinend habe ich mich vertan, sorry.
Gruß
DieAcht
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(Frage) überfällig | | Datum: | 23:44 Do 08.01.2015 | | Autor: | YuSul |
Ich will ja nur zeigen, dass der Grenzwert des Quotienten später 1 ist. Kann ich das Integral nicht vielleich durch etwas nach oben abschätzen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:20 So 11.01.2015 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:54 Fr 09.01.2015 | | Autor: | andyv |
Hallo,
versuche es mit der partiellen Integration [mm] $\int_{-\infty}^{-t} \exp(-x^2/2) dx=\exp(-t^2/2)/t-\int_{-\infty}^{-t} \exp(-x^2/2)/x^2 [/mm] dx$.
Zu zeigen bleibt, dass der Beitrag vom zweiten Summanden für $t [mm] \to \infty$ [/mm] verschwindet. Hierfür bemerke, dass [mm] $\exp(-x^2/2)\le \exp(-t^2/2)$ [/mm] für $x [mm] \le [/mm] -t<0$ gilt.
Liebe Grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:17 Fr 09.01.2015 | | Autor: | YuSul |
Könnte ich auch begründen, dass dies Null sein muss, weil der Integrand beschränkt ist und die Intervalllänge gegen Null geht?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:22 Fr 09.01.2015 | | Autor: | andyv |
Der Integrand geht ganz sicher gegen 0, das ist aber nicht was du zeige willst: du musst das schließlich noch mit [mm] $texp(-t^2/2)$ [/mm] multiplizieren und dann den Grenzwert berechnen.
Liebe Grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 03:43 Fr 09.01.2015 | | Autor: | YuSul |
Mit was für einen partiellen Integration bekommst du eigentlich hier das 1/t bzw. [mm] 1/x^2? [/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:20 Fr 09.01.2015 | | Autor: | andyv |
$v'=x [mm] exp(-x^2/2)$ [/mm] und $u=1/x$.
Liebe Grüße
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:39 Fr 09.01.2015 | | Autor: | YuSul |
Das ist in der Tat sehr geschickt. :)
Vielen Dank.
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