Integration e-funktion < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:32 Fr 22.06.2007 | | Autor: | Tekker |
| Aufgabe | Gegeben ist die Funktion [mm] z=f(x,y)=e^{x^{2}+y^{2}}
[/mm]
a) Weisen sie nach, daß |grad z(x,y)| nur vom Abstand des
Punktes (x,y) vom Ursprung abhängt.
b) Integrieren Sie die Funktion z=f(x,y) über den Bereich
[mm] B=\{(x,y)|x^{2}+y^{2}<=4\}
[/mm]
|
zu a)
Habe [mm] e^{x^{2}+y^{2}} [/mm] umgeschreiben zu [mm] e^{r^{2}} [/mm] und rausbekommen, daß der Betrag des gradienten = [mm] 2*e^{r^{2}}*r [/mm] ist.
zu b)
Ich habe versucht, daß Integral über Polarkoordinaten zu lösen, da der Bildbereich einen Kreis darstellt. Wollte also
[mm] \integral_{\alpha=0}^{2\pi}\integral_{r=0}^{2}{e^{r^{2}} dr d\alpha} [/mm] lösen.
Komme aber auf kein vernünftgies Ergebnis.
Auch nicht, wenn ich [mm] r^{2} [/mm] durch t substituiere.
Vielen Dank für die Hilfe im vorraus!
P.S.: Habe diese Frage in keinem anderem Forum oder auf anderen
Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) noch nicht fertig  | | Datum: | 22:30 Fr 22.06.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Dein Integral ist falsch. wegen [mm] dA=dr*rd\alpha [/mm] (es muss ne Fläche rauskommen, [mm] drd\alpha [/mm] ist ne Länge!
hast du im Integral [mm] r*e^{3^2}drd\alpha [/mm] stehen, was leicht zu integrieren ist!
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:45 Fr 22.06.2007 | | Autor: | Dirk07 |
Hallo Leduart,
das mit dem zusätzlichen r im inneren Integral habe ich verstanden. Aber wie hast du bei dem Integral das [mm]"r^2"[/mm] aus der e-Funktion herausgezogen bzw wieso ist das [mm] r^2 [/mm] durch 3 ersetzt ? Ich dachte, dann gilt folgendes Integral ?:
[mm]\integral_{\alpha=0}^{2\pi}\integral_{r=0}^{2}{r*e^{r^{2}} dr d\alpha}[/mm]
Ich hatte anfangs versucht die Aufgabe zu lösen, das Integral von [mm]x*e^{x^2}}[/mm] auszurechnen, bin dann aber nach einer Stunde vergebener Suche bei einer Google-Recherche gelandet, wo beschrieben wurde, dass das es das Integral dieser Funktion nicht so einfach gäbe (Gaußsches Fehlerintegral). Als grobe Näherung bin ich dann bei einer x-Funktion dritten Grades und auf eine Reihenentwicklung gekommen.
Auch auf die Gefahr hin, mich unbeliebt zu machen, wie hast du das 3 in die e-Funktion bekommen hast bzw. ersetzt hast ?
Lieben Gruß,
Dirk
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:06 Fr 22.06.2007 | | Autor: | Tekker |
Danke für die Antwort!
verstehe auch nicht wie du das r in der e-funktion durch 3 ersetzen konntest. Und warum dann nicht auch das andere r im Produkt? Ist r nicht aufgrund des Bildbereichs auf maximal 2 festgelegt?
mfg Tekker
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:40 Sa 23.06.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
das innere Integral ist :
[mm] \integral_{0}^{R}{r*e^{r^2} dr}= 1/2e^{r^2}
[/mm]
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 23:19 Fr 22.06.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
natürlich muss es [mm] e^{r^2} [/mm] heissen! wie die 3 dahinkam weiss ich nicht. Leider hab ichs auch nach dem posten nicht mehr gelesen. Tut mir leid.
Gruss leduart
> Hallo
> Dein Integral ist falsch. wegen [mm]dA=dr*rd\alpha[/mm] (es muss ne
> Fläche rauskommen, [mm]drd\alpha[/mm] ist ne Länge!
> hast du im Integral [mm]r*e^{3^2}drd\alpha[/mm] stehen, was leicht
> zu integrieren ist!
> Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:38 Fr 22.06.2007 | | Autor: | Tekker |
Ok danke! Aber schade das die 3 in der e-Funktion nicht stimmt, weiß nämlich nicht wie man dieses Integral löst, was ist denn die Stammfunktion von
[mm] \integral_{0}^{2}{e^{r^{2}}dr}
[/mm]
mfg Tekker
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:16 Sa 23.06.2007 | | Autor: | Dirk07 |
Hallo Leduart,
wie bist du so schnell auf das Integral [mm] \integral_{0}^{R}{r\cdot{}e^{r^2} dr}= 1/2e^{r^2}[/mm] gekommen? Ich habe mir diese Stammfunktion mal zeichnen lassen:
[Dateianhang nicht öffentlich]
wobei
[mm]f'(x)=r*e^{r^2}[/mm]
[mm] f_1(x)=[/mm] [mm]\bruch{1}{2}r^2+\bruch{r^4}{4\cdot{}1!}+\bruch{r^6}{6\cdot{}2!}+\bruch{r^8}{8\cdot{}3!}+\bruch{r^{10}}{10\cdot{}4![/mm]
[mm] f_2(x)=[/mm] [mm]0.5\cdot{}e^{r^2}[/mm]
Die von dir ermittelte, rote Funktion kann doch nicht sein oder? Dann wäre das Integral der Funktion f'(x) an der Stelle 0 schon 0.5, obwohl da doch noch garkeine Fläche unterhalb der Kurve ist. (Schwarz ist die eigentliche Funktion, blau die Reihenentwicklung). Habe ich einen Denkfehler?
Lieben Gruß,
Dirk
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:25 Sa 23.06.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo Dirk
Ich hab nur die Stammfkt hingeschrieben, wenn man die Grenzen einsetzt also noch [mm] -0,5*e^0. [/mm] schieb meine fkt also um 0,5 nach unten! mit der Reihe geht das zur Not auch, aber je größer r desto schlechter, wär gut du vergleichst deine fkt. mal für größere r mit meiner "richtigen"
2. ich kann die Kettenregel bei sowas direkt sehen, das übt sich! also leit einfach mal [mm] e^{x^2} [/mm] ab. oder mach Substitution, [mm] x^2=z [/mm] dz=2x*dx, bei so einfachen fkt find ich das zu umständlich!
allgemein gilt deshalb [mm] \integral{f'(x)*e^{f(x)} dx}=e^{f(x)}
[/mm]
ähnlich sollte man erkennen die Stammfunktion von f'/f als lnf und die Stammfkt von f*f' als [mm] 1/2f^2.
[/mm]
Aber wie gesagt, die Übung machts!
Gruss leduart.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:28 Sa 23.06.2007 | | Autor: | Dirk07 |
Hallo Leduart,
danke für die Antwort. Habe die von dir berechnete Stammfunktion um 0.5 nach unten verschoben (also für die Integrationskonstante -0.5 verwendet) und sie deckt sich genau mit der Reihenentwicklung.
Ich hatte mich wohl am Anfang zu sehr von dem Term [mm] e^{x^2} [/mm] beirren lassen, diesen habe ich nicht integriert bekommen, zumindestens kam nichts vernünftiges heraus. Bei einer Interner-Rechereche sties ich dann auf den Thread: http://www.chemieonline.de/forum/showthread.php?t=75708 wo die Rede vom Gausschen Fehlerintegral war. Aber ich denke durch den Vorfaktor "r" wird diese Funktion auch einfach integrierbar.
Lieben Gruß,
Dirk
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:29 Sa 23.06.2007 | | Autor: | Dirk07 |
Nachtrag: Sollte keine Frage mehr sein, sorry.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:54 Fr 22.06.2007 | | Autor: | Dirk07 |
Hallo Tekker,
ich habe es jetzt mit einer Reihenentwicklung "gelöst", habe mir dabei folgende Tatsache zu nutze gemacht:
[mm]e^z=1+\bruch{z}{1!}+\bruch{z^2}{2!}+\bruch{z^3}{3!}+\bruch{z^4}{4!}+\bruch{z^5}{5!} ...[/mm]
Die Reihe kann man beliebig so fortsetzen. Für z habe ich nun [mm] r^2 [/mm] eingesetzt:
[mm]e^r=1+\bruch{r^2}{1!}+\bruch{r^4}{2!}+\bruch{r^6}{3!}+\bruch{r^8}{4!}+\bruch{r^{10}}{5!} ...[/mm]
In das Integral eingesetzt:
[mm]\integral_{\alpha=0}^{2\pi}\integral_{r=0}^{2}{r\cdot{}(1+\bruch{r^2}{1!}+\bruch{r^4}{2!}+\bruch{r^6}{3!}+\bruch{r^8}{4!}+\bruch{r^{10}}{5!} ...)} dr d\alpha}[/mm]
Mit r multipliziert:
[mm]\integral_{\alpha=0}^{2\pi}\integral_{r=0}^{2}{r+\bruch{r^3}{1!}+\bruch{r^5}{2!}+\bruch{r^7}{3!}+\bruch{r^9}{4!}+\bruch{r^{11}}{5!} ...)} dr d\alpha}[/mm]
Nach r integriert:
[mm]\integral_{\alpha=0}^{2\pi}{\bruch{1}{2}r^2+\bruch{r^4}{4*1!}+\bruch{r^6}{6*2!}+\bruch{r^8}{8*3!}+\bruch{r^{10}}{10*4!}+\bruch{r^{12}}{5!*12} ...)} d\alpha}[/mm] (für r 2 einsetzen)
Dann noch einsetzen und ausrechnen. War meine Reihen"vorarbeit" doch nicht umsonst 
Lieben Gruß,
Dirk
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:33 Sa 23.06.2007 | | Autor: | Tekker |
Das sieht gut aus!
Danke für deine Hilfe,
mfg Tekker
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:42 Sa 23.06.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo,
siehe meine Antwort oben
Gruss leduart
|
|
|
|
