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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:20 Di 07.07.2009 | | Autor: | maierli |
| Aufgabe | Lösung des Integrals mit Hilfe von Substitution
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{1}{cos^3(x)} dx} [/mm] |
Ich komme leider nicht auf die Substitution.
Wäre echt nett, wenn ihr mir dabei helfen könntet. Dankeschön
maierli
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=394781
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Hallo Claus und herzlich ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") ,
> Lösung des Integrals mit Hilfe von Substitution
>
> [mm]\integral_{}^{}{\bruch{1}{cos^3(x)} dx}[/mm]
> Ich komme leider
> nicht auf die Substitution.
Ich hab's nicht ganz durchgerechnet, aber einen Versuch wert scheint mir die Substitution [mm] $u:=\tan\left(\frac{x}{2}\right)$
[/mm]
Damit ist [mm] $dx=\frac{2}{1+u^2} [/mm] \ du$ und [mm] $\cos(x)=\frac{1-u^2}{1+u^2}$
[/mm]
Das entstehende Integral macht den Eindruck, dass es mit einer Partialbruchzerlegung weiter verarztet werden könnte ...
Das habe ich aber nicht mehr gemacht ...
>
> Wäre echt nett, wenn ihr mir dabei helfen könntet.
> Dankeschön
>
> maierli
>
> Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen
> Internetseiten gestellt:
> http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=394781
LG und ![[gutenacht]](/images/smileys/gutenacht.gif "[gutenacht]")
schachuzipus
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> Lösung des Integrals mit Hilfe von Substitution
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> [mm]\integral_{}^{}{\bruch{1}{cos^3(x)} dx}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> Ich komme leider nicht auf die Substitution.
> Wäre echt nett, wenn ihr mir dabei helfen könntet.
> Dankeschön
Guten Morgen,
man könnte es vielleicht mit u:=sin(x) versuchen.
Dann ist
u'=\bruch{du}{dx}=cos(x)
$\integral{\bruch{1}{cos^3(x)}\ dx}=\integral{\bruch{cos(x)}{cos^4(x)}\ dx}=\integral{\bruch{1}{(1-u^2)^2}\,du}$
Sieht noch nicht gerade herzerfrischend aus...
Zweiter Versuch: u:=tan(x)
u'=\bruch{du}{dx}=\bruch{1}{cos^2(x)}
$\integral{\bruch{1}{cos^3(x)}\ dx}=\integral{\bruch{1}{cos(x)}\ du}=\integral \sqrt{1+u^2}\,du}$ (***)
In einer Formelsammlung finde ich unter
"Integrals Involving r=(x^2+a^2)^{1/2} "
folgende Formel:
$\integral r\ dx\ =\bruch{x\,r}{2}+\bruch{a^2}{2}\,log(x+r)$ (***)
Das sollte weiter helfen.
LG Al-Chw.
(***) Bemerkung:
In den markierten Zeilen hatte ich zuerst wegen
eines ziemlich dummen Fehlers falsche Formeln.
Jetzt stehen da die richtigen.
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