Integration durch Substitution < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Die Variablen t und x hängen wie folgt zusammen: [mm] t=x+\wurzel{x^{2}+2*b*x+c} [/mm] , wobei b und c Konstanten sind und [mm] b^{2}
i) Zeigen Sie, dass: [mm] \bruch{dx}{dt}=\bruch{t-x}{t+b} [/mm]
ii) integrieren Sie infolgedessen [mm] \bruch{1}{\wurzel{x^{2}+2*b*x+c}}
[/mm]
iii) Zeigen Sie durch direkte Integration, dass das Ergebnis auch für den Fall [mm] b^{2}=c [/mm] mit x+b>0 gilt, aber dass es nicht gilt, wenn x+b<0 |
Hi,
ja ich bereite mich gerade auf das so genannte Sixth Term Exam Paper kurz STEP vor und rechne fleißig die Past Exam Papers aus den letzten Jahren. Da wir in der Schule mit einem CAS rechnen, muss ich mir die ganze Integration mal von klein auf beibringen also Substitutionen usw. nun aber zu der Aufgabe, also:
i) [mm] \bruch{dx}{dt} [/mm] ist das nicht im Prinzip die Ableitung nach t, wenn ich das ganze nach x auflöse, bzw nach x ableite und dann den Kehrwert bilde ? Ich habe es so gelernt : [mm] \bruch{dy}{dx}=\bruch{d*f(x)}{dx} [/mm] = [mm] \bruch{d}{dx}*f(x) [/mm] ... Irgenwie komm ich so aber auf ein anders Ergebnis...
ii) [mm] \bruch{dx}{dt} [/mm] ist doch dann im Prinzip die entsprechende Substitution, oder nicht ? Ich setze also den Wurzelausdruck = [mm] \bruch{dx}{dt} [/mm] und eliminiere das Differential für x aus dem Integral um dann integrieren zu können ?
iii) Hier hakts es irgendwie komplett.
Vielen Dank für die Mühe :)
Exeqter
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:41 Mi 17.12.2008 | | Autor: | Blech |
> Die Variablen t und x hängen wie folgt zusammen:
> [mm]t=x+\wurzel{x^{2}+2*b*x+c}[/mm] , wobei b und c Konstanten sind
> und [mm]b^{2}
>
> i) Zeigen Sie, dass: [mm]\bruch{dx}{dt}=\bruch{t-x}{t+b}[/mm]
[mm] $\frac{d\ t}{dx}= 1+\frac{2x+2b}{2\sqrt{\cdot}}=\frac{\overbrace{x+\sqrt{\cdot}}^{=t}+b}{\underbrace{\sqrt{\cdot}+x}_{=t}-x}$
[/mm]
Jetzt Kehrwert bilden.
Nach x auflösen [mm] ($x(t)=\frac{t^2-c}{2(b+t)}$), [/mm] dann nach t ableiten [mm] ($\frac{4t^2+4bt-2t^2+2c}{4(b+t)^2}$) [/mm] geht auch. Ist aber langsamer. Was ich nicht verstehe ist, wieso überhaupt dx/dt gefragt ist und nicht gleich dt/dx.
> ii) integrieren Sie infolgedessen
> [mm]\bruch{1}{\wurzel{x^{2}+2*b*x+c}}[/mm]
>
[mm] $\sqrt{\cdot}=t-x$, [/mm] also
[mm] $\frac{d\ x}{dt}=\frac{\sqrt{\cdot}}{t+b}$
[/mm]
[mm] $\Leftrightarrow \frac{dx}{\sqrt{\cdot}}=\frac{dt}{t+b}$
[/mm]
[mm] $\Leftrightarrow \int \frac{dx}{\sqrt{\cdot}}=\int \frac{dt}{t+b}$
[/mm]
(Hier fände ich es schöner, wenn wir oben [mm] $\frac{d\ t}{dx}=\frac{t+b}{\sqrt{\cdot}}$ [/mm] hätten ausrechnen sollen. Dann könnten wir einfach die Definition von t von oben einsetzen und kämen ganz natürlich auf das Ergebnis:
[mm] $t=x+\sqrt{\cdot}$
[/mm]
[mm] $\frac{dt}{dx}=\frac{t+b}{\sqrt{\cdot}}$
[/mm]
[mm] $\frac{dx}{\sqrt{\cdot}}=\frac{dt}{t+b}$
[/mm]
> iii) Zeigen Sie durch direkte Integration, dass das
> Ergebnis auch für den Fall [mm]b^{2}=c[/mm] mit x+b>0 gilt, aber
> dass es nicht gilt, wenn x+b<0
[mm] $b^2=c\ \Rightarrow \sqrt{x^2+2bx+c}=\sqrt{x^2+2bx+b^2}=\sqrt{(x+b)^2}=|x+b|$ [/mm]
ciao
Stefan
|
|
|
| |
|
Hi,
> > Die Variablen t und x hängen wie folgt zusammen:
> > [mm]t=x+\wurzel{x^{2}+2*b*x+c}[/mm] , wobei b und c Konstanten sind
> > und [mm]b^{2}
> >
> > i) Zeigen Sie, dass: [mm]\bruch{dx}{dt}=\bruch{t-x}{t+b}[/mm]
>
> [mm]\frac{d\ t}{dx}= 1+\frac{2x+2b}{2\sqrt{\cdot}}=\frac{\overbrace{x+\sqrt{\cdot}}^{=t}+b}{\underbrace{\sqrt{\cdot}+x}_{=t}-x}[/mm]
Wie kommst du hier auf das endergebnis ? vom ersten gleichheitszeichen zum endergebnis, das ist mir nicht ganz klar.
> Jetzt Kehrwert bilden.
>
> Nach x auflösen ([mm]x(t)=\frac{t^2-c}{2(b+t)}[/mm]), dann nach t
> ableiten ([mm]\frac{4t^2+4bt-2t^2+2c}{4(b+t)^2}[/mm]) geht auch. Ist
> aber langsamer. Was ich nicht verstehe ist, wieso überhaupt
> dx/dt gefragt ist und nicht gleich dt/dx.
>
> > ii) integrieren Sie infolgedessen
> > [mm]\bruch{1}{\wurzel{x^{2}+2*b*x+c}}[/mm]
> >
> [mm]\sqrt{\cdot}=t-x[/mm], also
> [mm]\frac{d\ x}{dt}=\frac{\sqrt{\cdot}}{t+b}[/mm]
> [mm]\Leftrightarrow \frac{dx}{\sqrt{\cdot}}=\frac{dt}{t+b}[/mm]
>
> [mm]\Leftrightarrow \int \frac{dx}{\sqrt{\cdot}}=\int \frac{dt}{t+b}[/mm]
>
> (Hier fände ich es schöner, wenn wir oben [mm]\frac{d\ t}{dx}=\frac{t+b}{\sqrt{\cdot}}[/mm]
> hätten ausrechnen sollen. Dann könnten wir einfach die
> Definition von t von oben einsetzen und kämen ganz
> natürlich auf das Ergebnis:
> [mm]t=x+\sqrt{\cdot}[/mm]
> [mm]\frac{dt}{dx}=\frac{t+b}{\sqrt{\cdot}}[/mm]
> [mm]\frac{dx}{\sqrt{\cdot}}=\frac{dt}{t+b}[/mm]
>
>
> > iii) Zeigen Sie durch direkte Integration, dass das
> > Ergebnis auch für den Fall [mm]b^{2}=c[/mm] mit x+b>0 gilt, aber
> > dass es nicht gilt, wenn x+b<0
>
> [mm]b^2=c\ \Rightarrow \sqrt{x^2+2bx+c}=\sqrt{x^2+2bx+b^2}=\sqrt{(x+b)^2}=|x+b|[/mm]
>
> ciao
> Stefan
danke für deine mühe,
exeqter
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:15 Mi 17.12.2008 | | Autor: | Blech |
> Hi,
>
> > > Die Variablen t und x hängen wie folgt zusammen:
> > > [mm]t=x+\wurzel{x^{2}+2*b*x+c}[/mm] , wobei b und c Konstanten sind
> > > und [mm]b^{2}
> > >
> > > i) Zeigen Sie, dass: [mm]\bruch{dx}{dt}=\bruch{t-x}{t+b}[/mm]
> >
> > [mm]\frac{d\ t}{dx}= 1+\frac{2x+2b}{2\sqrt{\cdot}}=\frac{\overbrace{x+\sqrt{\cdot}}^{=t}+b}{\underbrace{\sqrt{\cdot}+x}_{=t}-x}[/mm]
>
> Wie kommst du hier auf das endergebnis ? vom ersten
> gleichheitszeichen zum endergebnis, das ist mir nicht ganz
> klar.
Ist Dir das erste Gleichheitszeichen klar? Ableitung der Wurzel ist 1 durch 2mal die Wurzel mal Nachdifferenzieren.
Dann auf einen Nenner gebracht und unten $0= x -x$ hinzuaddiert, um die geforderte Form zu erhalten.
[mm] $1+\frac{2x+2b}{2\sqrt{\cdot}}=\frac{\sqrt{\cdot}}{\sqrt{\cdot}}+\frac{x+b}{\sqrt{\cdot}}=\frac{\sqrt{\cdot}+x+b}{\sqrt{\cdot}}$
[/mm]
ciao
Stefan
|
|
|
| |
|
hey,
mir war nur der letzte schritt nicht klar. hatte es aber eben selbst herausgefummelt.
Hast Du eine Idee wie man so etwas einigermaßen lernen kann ? ist das lediglich erfahrung, die man durch viel integrieren usw erhält, oder gibt es da bestimmte Tricks ? Durch diesen TR fehlt mir das einfach und auch die Schreibweisen lernt man in der Schule so auch nicht unbedingt...
lg
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:50 Mi 17.12.2008 | | Autor: | Blech |
> hey,
>
> mir war nur der letzte schritt nicht klar. hatte es aber
> eben selbst herausgefummelt.
> Hast Du eine Idee wie man so etwas einigermaßen lernen kann
> ? ist das lediglich erfahrung, die man durch viel
Das Ableiten ist Übung, Übung, Übung. Lern die ganzen Regeln, mach es 100mal.
Integrieren ist Kunst. Es hilft sicher, viele Funktionen abgeleitet zu haben, weil Du dann vielleicht noch weißt, wie man wieder integrieren könnte.
Grundsätzlich sind die Hilfsmittel, die ich probiere der Reihe nach:
Quadratische Ergänzung (da sieht man gleich, ob's was bringt oder nicht)
Substitution (die offensichtlichen Möglichkeiten hat man recht schnell abgeklappert)
partielle Integration/Partialbruchzerlegung (hier kann man ewig rechnen, ohne zu wissen, ob was Sinnvolles rauskommen wird)
aber wenn die Substitution so wie hier nicht offensichtlich ist, dann komm ich ohne Anleitung auch nicht weiter; sicher nicht in der Zeit, die ich in einer Prüfung habe. Bei der Aufgabe kam noch dazu, daß die Anleitung umständlich war.
Bei der Substitution t:=f(x) willst Du immer auf etwas von der Gestalt
(einfach zu integriernde Terme, die nur von t abhängen) dt = (Terme von x, die im Integral vorkommen) dx
kommen. Wenn Du also schon weißt, wie die Substitution aussieht, und wie hier sogar schon dt/dx gegeben hast, kannst Du einfach mal die beiden auf verschiedene Seiten bringen und schauen, wie man den Rest aufteilen könnte.
(das war auch der Schwachsinn der Anleitung; warum man die Wurzel im Nenner zu t-x erweitern sollte, ist mir nicht klar. Reine Verschleierungstaktik)
Es hilft auch wieder, wenn man Ableiten kann, dann siehst Du z.B. beim Integral
[mm] $\int [/mm] x [mm] e^{x^2}\ [/mm] dx$
sofort, daß Du mit der Integration [mm] $t=x^2$ [/mm] auch das x vor der Exponentialfunktion loswirst.
ciao
Stefan
|
|
|
|
