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| Aufgabe | | [mm] \integral_{4}^{6}{f(x) \bruch{2x - 1}{x² - 6x + 9} dx} [/mm] |
Hallo!
Kann mir bitte jemand bei dieser Aufgabe helfen? Ich finde hier nicht mal einen Ansatz, also keine innere Abl. etc...
Schon mal Vielen Dank!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:27 Do 25.01.2007 | | Autor: | riwe |
> [mm]\integral_{4}^{6}{f(x) \bruch{2x - 1}{x² - 6x + 9} dx}[/mm]
>
> Hallo!
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> Kann mir bitte jemand bei dieser Aufgabe helfen? Ich finde
> hier nicht mal einen Ansatz, also keine innere Abl. etc...
>
> Schon mal Vielen Dank!
wie der titel schon sagt:
[mm]x²-6x+9 =(x-3)² \to x-3 = u[/mm]
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ok, vielen dank! hätte ich auch selber drauf kommen müssen... nochmal vielen dank!
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ich hab doch noch einmal ein paar fragen!
ich hab da dann also in der aufgabe stehen: [mm] \integral_{4}^{6}{f(x) \bruch{2x - 1}{(x - 3)²} dx}
[/mm]
dann hab ich g(x) = x - 3 = t
g´(x) = 1
1 dx = dt / *2x - 1
2x - 1 dx= 2x - 1 dt
g(4)=1
g(6)=3
[mm] \integral_{1}^{3}{f(x) \bruch{1}{t²} (2x - 1) dt}
[/mm]
= [mm] \integral_{1}^{3}{f(x) \bruch{2x - 1}{t²} dt}
[/mm]
und jetzt weiß ich nich weiter, ich kann das nich aufleiten, weil da 2 variablen sind und ich bin mir auch nicht sicher ob ich weiter oben das x überhaupt mit reinbringen durfte, oder kann es sein das ich das irgendwie mit der umkehrfunktion rechnen muss (wobei ich das wohl noch weniger schaffe :()??? ich hoffe mal mir kann da jmd weiterhelfen!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:06 Do 25.01.2007 | | Autor: | Mary15 |
> ich hab doch noch einmal ein paar fragen!
>
> ich hab da dann also in der aufgabe stehen:
> [mm]\integral_{4}^{6}{f(x) \bruch{2x - 1}{(x - 3)²} dx}[/mm]
>
> dann hab ich g(x) = x - 3 = t
> g´(x) = 1
>
> 1 dx = dt / *2x - 1
> 2x - 1 dx= 2x - 1 dt
>
> g(4)=1
> g(6)=3
>
> [mm]\integral_{1}^{3}{f(x) \bruch{1}{t²} (2x - 1) dt}[/mm]
> =
> [mm]\integral_{1}^{3}{f(x) \bruch{2x - 1}{t²} dt}[/mm]
>
Im Zähler ist noch x geblieben. Da musst du auch nach t umformen. Benutze dafür Deine Substitution x-3 = t
Pass auf die Schreibweise. auf
f(x) gehört nicht zu Deinem Integral. Es steht zwar in Formelvorlage, bedeutet aber die Funktion, die integriert wird. In deinem Fall ist es [mm] \bruch{2x - 1}{(x - 3)²}.
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:11 Do 25.01.2007 | | Autor: | riwe |
> ich hab doch noch einmal ein paar fragen!
>
> ich hab da dann also in der aufgabe stehen:
> [mm]\integral_{4}^{6}{f(x) \bruch{2x - 1}{(x - 3)²} dx}[/mm]
>
> dann hab ich g(x) = x - 3 = t
> g´(x) = 1
>
> 1 dx = dt / *2x - 1
> 2x - 1 dx= 2x - 1 dt
>
> g(4)=1
> g(6)=3
>
> [mm]\integral_{1}^{3}{f(x) \bruch{1}{t²} (2x - 1) dt}[/mm]
> =
> [mm]\integral_{1}^{3}{f(x) \bruch{2x - 1}{t²} dt}[/mm]
>
> und jetzt weiß ich nich weiter, ich kann das nich
> aufleiten, weil da 2 variablen sind und ich bin mir auch
> nicht sicher ob ich weiter oben das x überhaupt mit
> reinbringen durfte, oder kann es sein das ich das irgendwie
> mit der umkehrfunktion rechnen muss (wobei ich das wohl
> noch weniger schaffe :()??? ich hoffe mal mir kann da jmd
> weiterhelfen!
[mm]x-3=t\to 2x - 1=2t+5[/mm]
daraus ergibt sich, wenn du den zähler noch aufspaltest:
[mm] I=\integral_{}^{}{(\frac{2}{t}+\frac{5}{t²}) dt}
[/mm]
und das ist nun elementar zu integrieren,
anschließend rücksubstituieren und die grenzen einsetzen
ok?
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> [mm]x-3=t\to 2x - 1=2t+5[/mm]
> daraus ergibt sich, wenn du den
> zähler noch aufspaltest:
>
> [mm]I=\integral_{}^{}{(\frac{2}{t}+\frac{5}{t²}) dt}[/mm]
> und das
> ist nun elementar zu integrieren,
> anschließend rücksubstituieren und die grenzen einsetzen
> ok?
>
ne, ich versteh das noch nicht wirklich...
so, ich hab das jetzt so verstanden das ich [mm] \bruch{2}{t} [/mm] + [mm] \bruch{5}{t²} [/mm] aufleiten muss, ich hab das raus: 2 ln(t) - 5t, allerdings finde ich es einfacher wenn ich 2t + 5 aufleite, da hab ich dann t² + 5t raus, hab ich schon irgendwo einen Fehler?
jetzt bin ich mir nicht sicher was Sie mit rücksubstituieren meinen, ich habe t² + 5t anstelle von 2x - 1 eingesetzt und habe da dann stehen:
[mm] \integral_{1}^{3}{\bruch{t² + 5t}{t²} dt}, [/mm] bevor ich das aufleite stell ich erstma um, dann hab ich 1 + [mm] \bruch{5}{t}, [/mm] und das aufgeleitet hab ich t + 5ln(t), allerdings bin ich mir sicher irgendwas falsch gemacht zu haben... können Sie mir bitte noch mal helfen?
Schon mal Vielen Dank
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:20 Do 25.01.2007 | | Autor: | riwe |
zunächst sind wir hier per du - glaube ich zumindest.
> > [mm]x-3=t\to 2x - 1=2t+5[/mm]
> > daraus ergibt sich, wenn du den
> > zähler noch aufspaltest:
> >
> > [mm]I=\integral_{}^{}{(\frac{2}{t}+\frac{5}{t²}) dt}[/mm]
> > und
> das
> > ist nun elementar zu integrieren,
> > anschließend rücksubstituieren und die grenzen
> einsetzen
> > ok?
> >
>
> ne, ich versteh das noch nicht wirklich...
> so, ich hab das jetzt so verstanden das ich [mm]\bruch{2}{t}[/mm] +
> [mm]\bruch{5}{t²}[/mm] aufleiten muss, ich hab das raus: 2 ln(t) -
> 5t, allerdings finde ich es einfacher wenn ich 2t + 5
> aufleite, da hab ich dann t² + 5t raus, hab ich schon
> irgendwo einen Fehler?
>
> jetzt bin ich mir nicht sicher was Sie mit
> rücksubstituieren meinen, ich habe t² + 5t anstelle von 2x
> - 1 eingesetzt und habe da dann stehen:
>
> [mm]\integral_{1}^{3}{\bruch{t² + 5t}{t²} dt},[/mm] bevor ich das
> aufleite stell ich erstma um, dann hab ich 1 +
> [mm]\bruch{5}{t},[/mm] und das aufgeleitet hab ich t + 5ln(t),
> allerdings bin ich mir sicher irgendwas falsch gemacht zu
> haben... können Sie mir bitte noch mal helfen?
> Schon mal Vielen Dank
soweit ist es doch klar
> [mm]I=\integral_{}^{}{(\frac{2}{t}+\frac{5}{t²}) dt}[/mm]
damit hast du [mm]I = 2\cdot lnt -\frac{5}{t} = 2\cdot ln(x-3)-\frac{5}{x-3}[/mm]
von der richtigkeit des integrals kannst du dich ja durch differenzieren überzeugen,
mit den angegebenen integrationsgrenzen gibt es allerdings probleme (ln(0), division durch 0)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:31 Do 25.01.2007 | | Autor: | Mary15 |
> mit den angegebenen integrationsgrenzen gibt es allerdings
> probleme (ln(0), division durch 0)
>
Kleine Anmerkung.
Die Integralgrenzen 1 und 3 gelten für t. Ursprünglich waren 4 und 6. Damit lässt sich Integral berechnen. :)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:45 Do 25.01.2007 | | Autor: | riwe |
na dann paßt ja alles,
werner
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alles klar! jetzt hab ichs denk ich mal verstanden! ich hab das mit dem geteilt durch t² erst nicht so richtig gesehen... aber jetzt müsste er klappen. danke für deine geduld!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:53 Do 25.01.2007 | | Autor: | Mary15 |
> ne, ich versteh das noch nicht wirklich...
> so, ich hab das jetzt so verstanden das ich [mm]\bruch{2}{t}[/mm] +
> [mm]\bruch{5}{t²}[/mm] aufleiten muss, ich hab das raus: 2 ln(t) -
> 5t,
nicht korrekt.
>allerdings finde ich es einfacher wenn ich 2t + 5
> aufleite, da hab ich dann t² + 5t raus, hab ich schon
> irgendwo einen Fehler?
> jetzt bin ich mir nicht sicher was Sie mit
> rücksubstituieren meinen, ich habe t² + 5t anstelle von 2x
> - 1 eingesetzt und habe da dann stehen:
>
> [mm]\integral_{1}^{3}{\bruch{t² + 5t}{t²} dt},[/mm] bevor ich das
> aufleite stell ich erstma um, dann hab ich 1 +
> [mm]\bruch{5}{t},[/mm] und das aufgeleitet hab ich t + 5ln(t),
> allerdings bin ich mir sicher irgendwas falsch gemacht zu
> haben... können Sie mir bitte noch mal helfen?
> Schon mal Vielen Dank
Nee, so geht gar nicht.
Erstens, Du darfst nicht den Zähler allein aufleiten und danach noch mal mit dem Nenner aufleiten. Das ist gegen alle Regeln.
Zweitens, Deine Funktion ist ein Bruch. Für Brüche gibts zwar eine Ableitungsregel, aber keine Aufleitungsregel. Nur für die Summe gibts eine Aufleitungsregel. [mm] \integral{(f(x) + g(x))dx} [/mm] = [mm] \integral{f(x) dx} [/mm] + [mm] \integral{g(x) dx}
[/mm]
Daher ist hier am sinnvollsten der Bruch als Summe kleinere Brüche darzustellen
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ja, ich hab das eben auch noch ma angeguckt, ich hab da die fehler gefunden.. ich hab nicht gemerkt das schon durch t² geteilt wurde... deswegen dachte ich ich muss das da wieder einsetzen weil ja sonst die t² weg wären...
danke!
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